光谱密度

物理学术语

光谱密度spectral concentration以波长a为中心的微小波长宽度范围内辐射量x(即辐通量、辐照度、辐亮度等)一与该波长宽度之比。xt幼=dXldd光谱密度用来表示光源在特定波长下所具有的能量，其相对值与波长之间的函数关系相对光谱功率分布是光源的主要特性。

术语介绍

时间序列的功率谱描述了信号功率在频域的分布状况。根据傅里叶分析，任何物理信号都可以分解成一些离散频率或连续范围的频谱。对特定信号或特定种类信号（包括噪声）频率内容的分析的统计平均，称作其频谱。

当信号的能量集中在一个有限时间区间的时候，尤其是总能量是有限的，就可以计算能量频谱密度。更常用的是应用于在所有时间或很长一段时间都存在的信号的功率谱密度。由于此种持续存在的信号的总能量是无穷大，功率谱密度（PSD）则是指单位时间的光谱能量分布。频谱分量的求和或积分会得到（物理过程的）总功率或（统计过程的）方差，这与帕塞瓦尔定理描述的将在时间域积分所得相同。

物理过程的频谱通常包含与的性质相关的必要信息。比如，可以从频谱分析直接确定乐器的音高和音色。电磁波电场的频谱可以确定光源的颜色。从这些时间序列中得到频谱就涉及到傅里叶变换以及基于傅里叶分析的推广。许多情况下时间域不会具体用在实践中，比如在摄谱仪用散射棱镜来得到光谱，或在声音通过内耳的听觉感受器上的效应来感知的过程，所有这些都是对特定频率敏感的。

不过本文关注的是时间序列（至少在统计意义上）已知，或可以直接测量（如经麦克风采集再由电脑抽样）的情形。功率谱在统计信号处理与随机过程的统计研究以及物理和工程中的许多其他领域中都很重要。通常情况下，该过程是时间的函数，但也同样可以讨论空间域的数据按空间频率分解。

解释

在物理学中，信号通常是波的形式，例如电磁波、随机振动或者声波。当波的频谱密度乘以一个适当的系数后将得到每单位频率波携带的功率，这被称为信号的功率谱密度（power spectral density, PSD）或者谱功率分布（spectral power distribution, SPD）。功率谱密度的单位通常用每赫兹的瓦特数（W/Hz）表示，或者使用波长而不是频率，即每纳米的瓦特数（W/nm）来表示。

尽管并非一定要为信号或者它的变量赋予一定的物理量纲，下面的讨论中假设信号在时域内变化。

定义

能量谱密度

能量谱密度描述的是信号或者时间序列的能量如何随频率分布。这里，能量这个术语是用作信号处理中的推广含义；也就是说，信号的能量为

能量谱密度对总能量有限的瞬变信号（也就是类似于脉冲信号的）最为适用。在这种情况下，帕塞瓦尔定理给出了用傅里叶变换表示信号能量的形式。

这里频率单位为Hz，即每秒周期数。经常使用角频率。由于右边的积分是信号的能量，被积函数密度函数。鉴于此，信号的能量谱密度定义为

举一个物理上的例子来说明如何测量信号的能量谱密度，假设表示阻抗为的传输线上传播的电脉冲的电势（单位伏特），并假设传输线末端是一个匹配电阻器（因而所有脉冲能量都传到电阻器上并且不会反射回来）。由欧姆定律，时刻传递到电阻器的功率等于，因此总能量可以通过以时间为变量对积分。要求得频率时的能量谱密度，可以在传输线和电阻器之间加入一个只允许感兴趣的频率附近的很窄频率范围通过的带通滤波器，并测量电阻器上消耗的总能量。处的能量谱密度的值为。在此例子中，由于功率的单位为 JHz。在许多情况下，常常不去除以，于是单位就会是 VsHz。

其中离散傅里叶变换，而是的复共轭。采样区间需要保持正确的物理单位并确保我们能恢复极限情况下连续的情况；不过在数学中往往将此区间设为1。

功率谱密度

上面能量谱密度的定义适用于能量集中在一个时间窗口附近的瞬变（脉冲状信号）；因此信号的傅里叶变换一般存在。对于持续存在的连续信号，如平稳过程，就必须定义功率谱密度（PSD）；这描述了一个信号或时间序列的功率随频率的分布，正如前面给出的简单例子一样。在这里，功率可以是实际的物理功率，不过更多时候，为了更方便用于抽象信号，简单地确定为信号的平方值。例如，统计学系研究时间（或其他独立变量）的函数x(t)的方差，并类比电信号，习惯称之为功率谱，即使没有涉及到物理上的功率。若要创建一个x(t)的物理电压源并加在1欧姆的电阻器两端，于是在电阻器上消耗的瞬时功率就会是x瓦特。

P：

注意平稳过程有可能功率有限但能量无限。毕竟，能量是功率的积分，而平稳信号持续无限长时间。这就是在这些情况下不能使用上面定义的能量谱密度的原因。

在分析信号的频率内容时，可能会计算傅里叶变换；但许多感兴趣的信号的傅里叶变换都不存在。{{#tag:ref|一些作者（比如Risken）仍旧使用非归一化的傅里叶变换来定义功率谱密度

其中为狄拉克δ函数T] 把信号积分的截短傅里叶变换：

因此功率谱密度可以被定义为

这里E表示期望值；明确地，我们有

在后面形式中（对一个平稳随机过程来说），可以改换变量，随着积分的极限（而非 [0,T]）趋近于无穷，所得信号的功率谱密度与自相关函数可视为傅里叶变换对（维纳－辛钦定理）。自相关函数是一个定义为的统计量（或更一般地，在X(t)是复值函数时为）。倘若是绝对可积的（并不总是如此），

许多作者实际上用这个等式来定义功率谱密度。

）中信号的功率可以通过对频率积分计算。由于，正、负频率的功率相同，因而下面形式中的因子为2（这种因子取决于使用的惯例）：

更一般地，类似的技术可以被用来估计一个随时间变化的光谱密度。更一般地，可以使用类似的方法来估计时变谱密度。在这种情况下上面定义的(0, T)上的截短傅里叶变换不是通过T趋近于无穷的极限计算的。这导致光谱覆盖率和分辨率降低，因为不会采样小于1/T的频率，而1/T的整数倍频率的结果不是独立的。

性质

：上面的定理在离散情况下也是成立的。另外的一个结论是功率谱密度下总的功率与对应的总的平均信号功率相等，它是逐渐趋近于零的自相关函数。