克勒一爱因斯坦度量

数学术语

克勒-爱因斯坦度量一类特殊的克勒度量，设(M，g)是克勒流形，S为里奇曲率张量，若S满足S=ρg，则称g为M上的克勒-爱因斯坦度量，这时，(M，g)称为克勒-爱因斯坦流形。卡拉比猜想与凯勒流形上凯勒-爱因斯坦度量存在性问题密切相关。

定义

克勒-爱因斯坦度量( )是一类特殊的克勒度量，设是克勒流形，为里奇曲率张量，若满足，则称为上的克勒-爱因斯坦度量，这时，称为克勒-爱因斯坦流形。

卡拉比猜想

卡拉比猜想(Calabi conjecture)是关于克勒度量的一个著名猜想，卡拉比(E.Calabi)于1954年在一篇关于“克勒度量的空间”的文章中提出如下猜测：设M是紧致克勒流形，为克勒形式，为里奇形式，若给定的实闭形式的上同调类与的上同调类一致，则在上存在一种且只存在一种具有下列性质的克勒度量：

1.其克勒形式和决定相同的上同调类，即；

2.其里奇形式与给定的一致。

卡拉比已证明了惟一性，里奇形式ρ的重要性在于M的第一陈类与一致，卡拉比特别关心的情况，在命题“若，则存在里奇形式为0的克勒度量”的假设下，他证明了上述猜测的特殊情况，所要求的用适当的实数φ可以写成，于是问题可归结为求下列φ的微分方程：，其中是由和

而定的实函数，与上述猜测(通常称为第一猜测)有关尚有下列第二猜测：若为紧致流形，第一陈类C1为负，则满足的克勒度量存在且只有一个，这种度量就是所谓克勒-爱因斯坦度量，这时微分方程变为

奥平(T.Aubin)（即下文“奥宾”）于1976年初解决了第二猜测，而丘成桐于1976年底把两个猜测都解决了，卡拉比猜测的解决，使得克勒-爱因斯坦流形的研究更加重要。

卡拉比猜想与凯勒-爱因斯坦度量的密切关系

解决卡拉比猜想的荣誉亳无争议的属于丘成桐，但是在20世纪70 年代还有一个比丘成桐大7 岁的年轻人，他在卡拉比猜想上的工作需要提及，即法国数学家奥宾。奥宾生前就职于法国朱西厄数学中心，1990 年当选法国科学院通讯院士，2003 年成为法国科学院院士，主要研究方向是微分几何和非线性偏微分方程，他被称为法国几何分析的一个重要先驱，他广为人知的两个研究是山边问题和卡拉比猜想（关于以下内容及其更多详细内容请参考文后相应参考文献）。

对于奥宾在卡拉比猜想上的工作，主要体现在3 篇论文中：一篇是1970 年的《黎曼度量和曲率》，有42 页；一篇是1976 年的《紧凯勒流形的复蒙日-安培方程》，有3 页；还有一篇是与1976 年论文同名的1978 年的论文，这个论文主要是对1976 年论文的详细论述，有33 页。

在1970年的论文中，奥宾在第一陈类为负，且假定凯勒流形具有非负全纯双截曲率情况下，求解了类似丘成桐的右边为的复蒙日-安培方程；在1976 年的论文中，奥宾充分论证了第一陈类为负的情况，并且在第一陈类为正的情况下；求解了类似丘成桐的右边为的复蒙日-安培方程；从而给出了卡拉比猜想的一个部分证明。在1978 年的论文中，奥宾对1976 年论文进行了更加详细的论述，论文页数由3页变为33页。

阿布德塞拉姆(A.B.Abdesselem)在纪念奥宾的文字中指出：奥宾最后几乎完全证明了卡拉比猜想。在丘成桐之前，奥宾的这些工作确实是一个巨大的贡献，但是数学界并未因此而震惊。丘成桐认为原因有两个：一是奥宾是在假定凯勒流形具有非负全纯双截曲率的情况下，给出的卡拉比猜想的证明，这种具有非负全纯双截曲率的凯勒流形的类是相当有限制性的；二是在证明中，奥宾使用了变分法，这种方法不是很容易理解的。就是奥宾本人在后来的著作中也提到了这一点，他说连续性方法更简单(这是丘成桐使用的方法)；而且在讨论卡拉比猜想时，他使用了连续性方法，而不是变分法。

后人常常将奥宾与卡拉比猜想联系在一起讨论；奥宾本人则更倾向于将他的这些工作与凯勒-爱因斯坦度量联系起来，在他后来的文字中可以看到这一点。从这个角度，奥宾的上述工作又可以阐述为：在1970 年的论文中，奥宾首次研究了紧凯勒流形上凯勒-爱因斯坦度量存在性问题，并将其转化成奥宾方程的求解问题。在1976 年的论文中，奥宾证明了第一陈类为负的紧凯勒流形上存在凯勒-爱因斯坦度量。对于奥宾的工作，博规农做了很好的解释。

凯勒-爱因斯坦度量是里奇形式与凯勒形式成比例的度量，也就是要求复流形上的度量不仅是凯勒度量，而且也是爱因斯坦度量。其中爱因斯坦度量是里奇形式与度量形式成比例的度量，之所以称为爱因斯坦度量，是为了纪念爱因斯坦，因为这个条件也相当于说这个度量是真空爱因斯坦方程的一个解。允许爱因斯坦度量的黎曼流形称作爱因斯坦流形；这类流形与很多重要论题有联系，包括杨-米尔斯理论。在已知的爱因斯坦流形的例子中，非常好的一类就是凯勒的。

紧凯勒流形上凯勒-爱因斯坦度量存在性问题与卡拉比猜想有密切关系，奥宾、贝斯( A.L.Besse)、莫罗亚努(A.Moroianmu) 等人的著作都有专门章节论述，总的来说，有四个方面:

(1) 从二者提出问题的角度分析。凯勒-爱因斯坦度量存在性问题是：已知紧凯勒流形上存在凯勒-爱因斯坦度量的必要条件是第一陈类为负、零和正；那么这是否也是充分条件。换句话说就是，紧凯勒流形上是否存在凯勒爱因斯坦度量。卡拉比猜想的问题是：已知紧凯勒流形上每一个( 1,1) 型成为其上某些凯勒度量里奇形式的必要条件是这些形式表示第一陈类；那么这是否也是充分条件。换句话说就是，紧凯勒流形上每一个表示第一陈类的形式是否都是其上某些凯勒度量的里奇形式。

(2) 从二者所等价的方程分析。凯勒-爱因斯坦度量存在性问题等价于求解奥宾方程，当为负、零或正时，这个方程的解分别给出第一陈类为负、零和正的凯勒流形上的凯勒-爱因斯坦度量。特别的当的时候，这个问题就是卡拉比猜想：即第一陈类为零的紧凯勒流形上，允许里奇平坦凯勒度量。后来卡拉比曾通过口头交流，将猜想推广成第一陈类是负定的且爱因斯坦度量具有符号-1(即) 。到丘成桐的时候，卡拉比猜想可以分为三种情况，即第一陈类为负、零或正。在这三种情况下，凯勒-爱因斯坦度量的存在性问题就等价于求解右边为的复蒙日-安培方程。

(3) 从卡拉比、丘成桐和奥宾的论文分析中都可以看到有关凯勒爱因斯坦度量的论述。卡拉比在《凯勒度量空间》一文中，实际上也隐含着猜想了凯勒流形上存在凯勒爱因斯坦度量，其中凯勒流形的第一陈类为负、零和正，并且它不允许任何全纯向量场。丘成桐在《卡拉比猜想以及代数几何中的一些新结果》一文中给出凯勒-爱因斯坦度量这个名称以及对其的阐释，在《关于紧凯勒流形的里奇曲率和复蒙日安培方程，Ⅰ》中，定理5就给出了第一陈类为负时的凯勒-爱因斯坦度量。奥宾在《黎曼度量和曲率》一文中就明确提到了爱因斯坦度量，该文第十节就是有关“爱因斯坦度量存在性的充分条件”。

(4) 从卡拉比、丘成桐和奥宾论文给出的结论分析。1976 年，丘成桐在给出卡拉比猜想完整证明的同时，也证明了第一陈类为负和零的情况下，紧凯勒流形上凯勒爱因斯坦度量的存在性。丘成桐在卡拉比猜想上的工作与卡拉比的工作一起被称为卡-丘定理，这是一个有关卡拉比猜想的定理。丘成桐和奥宾在凯勒-爱因斯坦度量存在性上的工作与卡拉比的工作一起被称为奥宾-卡-丘定理，这是有关凯勒-爱因斯坦度量存在性的定理；进一步，第一陈类为零情况下的凯勒爱因斯坦度量被称为卡丘度量，第一陈类为负情况下的凯勒-爱因斯坦度量称为奥宾-卡-丘度量。

部分的因为奥宾和丘成桐的这些工作，再次引发了对爱因斯坦流形的研究。1979 年9 月，在法国的埃斯帕利永就召开了关于爱因斯坦流形的讨论会。

尽管卡拉比猜想与凯勒流形上凯勒-爱因斯坦度量存在性问题密切相关，但二者毕竞是两个独立的问题。卡拉比猜想在1976 年由于丘成桐的工作，已告完全解决；而凯勒流形上凯勒-爱因斯坦度量存在性问题，当时奥宾和丘成桐解决了第一陈类为负、丘成桐解决了第一陈类为零的情形，对于第一陈类为正的情形，至今仍未解决。不过对于数学和物理，第一陈类为正情形的重要性远远不及前两种情形。后来，丘成桐曾提出一个稳定性原则来研究这个问题，这个想法被称为丘成桐猜想。对此丘成桐的学生们，包括田刚作了诸多努力，给出了一些有意义的结果。最近，在这个问题上，唐纳森(S.K.Donaldson,1957~)和陈秀雄的又给出了一些进展。

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