克莱姆法则

线性代数中一个关于求解线性方程组的定理

克莱姆法则，又译克拉默法则（Cramer's Rule）是线性代数中一个关于求解线性方程组的定理。它适用于变量和方程数目相等的线性方程组，是瑞士数学家克莱姆（1704-1752）于1750年，在他的《线性代数分析导言》中发表的。其实莱布尼兹〔1693〕，以及马克劳林〔1748〕亦知道这个法则，但他们的记法不如克莱姆。

作者介绍

克莱姆（Cramer,Gabriel，瑞士数学家 1704-1752）克莱姆1704年7月31日生于日内瓦，早年在日内瓦读书，1724 年起在日内瓦加尔文学院任教，1734年成为几何学教授，1750年任哲学教授。他自 1727年进行为期两年的旅行访学。在巴塞尔与约翰．伯努利、欧拉等人学习交流，结为挚友。后又到英国、荷兰、法国等地拜见许多数学名家，回国后在与他们的长期通信中，加强了数学家之间的联系，为数学宝库也留下大量有价值的文献。他一生未婚，专心治学，平易近人且德高望重，先后当选为伦敦皇家学会、柏林研究院和法国、意大利等学会的成员。

主要著作是《代数曲线的分析引论》（1750），首先定义了正则、非正则、超越曲线和无理曲线等概念，第一次正式引入坐标系的纵轴（Y轴），然后讨论曲线变换，并依据曲线方程的阶数将曲线进行分类。为了确定经过5 个点的一般二次曲线的系数，应用了著名的“克莱姆法则”，即由线性方程组的系数确定方程组解的表达式。该法则于1729年由英国数学家马克劳林得到，1748年发表，但克莱姆的优越符号使之流传。

Cramer's Rule并不是克莱姆(Gabriel Cramer， 1704—1752)本人最先使用的，他只是第1个公开发表这一法则的人。史料记载，英国数学家马克劳林(Colin Maclaurin，1698—1746)比克莱姆发现该法则的时间还要早两年。如果再向前追溯的话，德国数学家莱布尼兹 (Gottfriend wilhelm Leibniz，1646—1716)早在 1678年的一份手稿中，也给出了所谓的Cramer's Rule。

基本介绍

一般来说，用克莱姆法则求线性方程组的解时，计算量是比较大的。使用克莱姆法则求线性方程组的解的算

法时间复杂度依赖于矩阵行列式的算法复杂度O(f(n))，其复杂度为O(n·f(n))，一般没有计算价值，复杂度太高。. 对具体的数字线性方程组，当未知数较多时往往可用计算机来求解。用计算机求解线性方程组目前已经有了一整套成熟的方法。

克莱姆法则是线性代数中一个关于求解线性方程组的基本定理，适用于求解变量和方程数目相等的线性方程组。它的意义主要在于它给出了方程组解与系数的明显关系。

概念

在引入克莱姆法则之前，先引入有关n元线性方程组和有关矩阵、行列式的概念。含有n个未知数的线性方程组称为n元线性方程组。

当其右端的常数项b1,b2,...,bn不全为零时，线性方程组⑴称为非齐次线性方程组。

令，其中A是线性方程组的系数矩阵，X是由未知数组成的列向量，是由常数项组成的列向量。线性方程组⑴的矩阵形式为。

当常数项全为零时，线性方程组⑵称为齐次线性方程组，即：

线性方程组(2)的矩阵形式为

系数构成的行列式称为该方程组的系数行列式D，即

定理

记法1：若线性方程组⑴的系数矩阵可逆（非奇异），即系数行列式 D≠0。有唯一解，其解为

记法2：若线性方程组⑴的系数矩阵可逆（非奇异），即系数行列式 D≠0，则线性方程组⑴有唯一解，其解为

其中Dj是把D中第j列元素对应地换成常数项而其余各列保持不变所得到的行列式。

记法1是将解写成矩阵（列向量）形式，而记法2是将解分别写成数字，本质相同。

证明

充分性：设A可逆，那么显然是的一个解。又设X1是其他不为X0的解，即。两边同时左乘A-1得

上面两式矛盾，因为不存在其他不为X0的解，故是的一个解。

必要性：设的唯一解X0。如A不可逆，齐次线性组AX=O就有非零解Y0，

X0+Y0也是的一个解，矛盾，故可逆，证毕。

推论

n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式为零。等价地，方程组有唯一的零解的充要条件是系数矩阵的行列式不为零，其矩阵可逆。

法则总结

1. 克莱姆法则的重要理论价值：研究了方程组的系数与方程组解的存在性与唯一性关系;与其在计算方面的作用相比，克莱姆法则更具有重大的理论价值。

2.应用克莱姆法则判断具有N个方程、N个未知数的线性方程组的解:

（1）当方程组的系数行列式不等于零时，则方程组有解，且具有唯一的解；

（2）如果方程组无解或者有两个不同的解，那么方程组的系数行列式必定等于零

(3)克莱姆法则不仅仅适用于实数域，它在任何域上面都可以成立。

3.克莱姆法则的局限性：

（1）当方程组的方程个数与未知数的个数不一致时，或者当方程组系数的行列式等于零时，克莱姆法则失

效。

（2）运算量较大，求解一个N阶线性方程组要计算N+1个N阶行列式。

技术应用

克莱姆法则在解决微分几何方面十分有用。

先考虑两条等式和。因为u和v都是没相关的变数，可定义和。

找出一条等式适合是克莱姆法则的简单应用。

首先要计算F、G、x和y的导数：

将dx和dy代入dF和dG，可得出：

因为u和v都没有关系，所以du和dv的系数都要等于0。所以等式中的系数可以被写成：

用克莱姆法则就可得到：

用两个雅可比矩阵来表示的方程：

用类似的方法就可以找到、以及。

不确定的情况

当方程组没有解时，称为方程组不兼容或不一致，当存在多个解决方案时，称为不确定性。对于线性方程，不确定的系统将具有无穷多的解（如果它在无限域上），因为解可以用一个或多个可以取任意值的参数来表示。

克拉默规则适用于系数行列式非零的情况。在2×2的情况下，如果系数行列式为零，则如果分子决定因子为非零，则系统不兼容，如果分子决定因素为零，则系统不兼容。

对于3×3或更高的系统，当系数行列式等于零时，唯一可以说的是，如果任何分子决定因素是非零的，那么系统必须是不兼容的。然而，将所有决定因素置零都不意味着系统是不确定的。 3×3系统x + y + z = 1，x + y + z = 2，x + y + z = 3的一个简单的例子，其中所有决定因素消失（等于零）但系统仍然不兼容。

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