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克罗内克积

数学术语

数学上，克罗内克积是两个任意大小的矩阵间的运算。克罗内克积是张量积的特殊形式，以德国数学家利奥波德·克罗内克命名。

定义
如果A是一个m×n的矩阵，而B是一个p×q的矩阵，克罗内克积则是一个mp×nq的分块矩阵
更具体地可表示为
例子
特性
双线性结合律
克罗内克积是张量积的特殊形式，因此满足双线性与结合律：
其中，A,B和C是矩阵，而k是常量。
克罗内克积不符合交换律：通常，不同于。
和是置换等价的，也就是说，存在置换矩阵P和Q，使得
如果A和B是方块矩阵，则和甚至是置换相似的，也就是说，我们可以取P=Q。
混合乘积性质
如果A、B、C和D是四个矩阵，且矩阵乘积AC和BD存在，那么：
这个性质称为“混合乘积性质”，因为它混合了通常的矩阵乘积和克罗内克积。于是可以推出，是可逆的当且仅当A和B是可逆的，其逆矩阵为：
克罗内克和
如果A是n×n矩阵，B是m×m矩阵，表示k×k单位矩阵，那么我们可以定义克罗内克和为：
与抽象张量积
矩阵的克罗内克积对应于线性映射的抽象张量积。特别地，如果向量空间V、W、X和Y分别具有基{v1, ... , vm}、 {w1, ... , wn}、{x1, ... , xd}和{y1, ... , ye}，且矩阵A和B分别在恰当的基中表示线性变换S:V→X和T:W→Y，那么矩阵A⊗B表示两个映射的张量积S⊗T:V⊗W→X⊗Y，关于V⊗W的基{v1⊗ w1, v1⊗ w2, ... , v2⊗ w1, ... , vm⊗ wn}和X⊗Y的类似基。
与图的乘积
两个图的邻接矩阵的克罗内克积是它们的张量积图的邻接矩阵。两个图的邻接矩阵的克罗内克和，则是它们的笛卡儿积图的邻接矩阵。
转置
克罗内克积转置运算符合分配律：
矩阵方程
克罗内克积可以用来为一些矩阵方程得出方便的表示法。例如，考虑方程AXB=C，其中A、B和C是给定的矩阵，X是未知的矩阵。我们可以把这个方程重写为
这样，从克罗内克积的性质可以推出，方程AXB=C具有唯一的解，当且仅当A和B是非奇异矩阵。（Horn & Johnson 1991，Lemma 4.3.1）.
在这里，vec(X)表示矩阵X的向量化，它是把X的所有列堆起来所形成的列向量。
如果把X的行堆起来，形成列向量x，则AXB也可以写为（Jain 1989，2.8 block Matrices and Kronecker Products）。
历史
尽管没有明显证据证明利奥波德·克罗内克是第一个定义并使用这一运算的人，克罗内克积还是以其名字命名。确实，在历史上，克罗内克积曾以Johann Georg Zehfuss名字命名为Zehfuss矩阵。
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