克莱因四元群

数学术语

数学上，克莱因(Klein)四元群，这个定义是在1884年被菲利克斯·克莱因命名的，它是最小的非循环群。有4个元素，除单位元外其阶均为2。

简介

数学上，克莱因(Klein)四元群，这个定义是在1884年被菲利克斯·克莱因命名的，它是最小的非循环群。有4个元素，除单位元外其阶均为2。

克莱因四元群通常以V表示或K4表示，意为Z2×Z2，（来自德文的四元群Vierergruppe）。它也是阿贝尔群，就是2阶的循环群与自身的直积。它也同构于4阶的二面体群。

讲述

克莱因群的Cayley表：

克莱因四元群也由群的定义介绍：

克莱因群的所有元素都2阶的，克莱因四元群是最小的非循环群。然而，它又是一个阿贝尔群，与4阶的二面体群（基数）Dih2是同构的；除了2阶的群以外，它是唯一的阿贝尔二面体群。

克莱因四元群也直接与Z2⊕Z2同构，使其可以表示为{（0,0），（0,1），（1,0），（1,1）} 的组分方式。因此，克莱因四元群是一个基本的阿贝尔2阶群的例子，也称为布尔群。因此，克莱因四元群也是由对称差异产生的群，作为具有两个元素的集合的幂子集上的二进制运算，即在具有四个元素的集合中。，在这种情况下，空集是群的本体元素。

克莱因四元群的另一个数值结构是集合{1,3,5,7}，其运算是“multiplicationmodulo 8”。这里a是3，b是5，c = ab是3×5 = 15≡ 7。

几何

这个十字架的对称群是克莱因四元群。它可以水平（a）或垂直（b）或两者（ab）翻转并保持不变。

在几何学上，克莱因四元群是菱形的对称群，矩形的对称群不是正方形，四个元素都是本体的。

在三维中有三个不同的对称群，代表性是克莱因四元群V：

（1）一个具有三个垂直的2倍旋转轴：D2

（2）一个具有2倍旋转轴和一个垂直的反射平面：C2h = D1d

（3）一个在反射平面（从而也在垂直的反射平面）上具有2倍旋转轴的旋转轴：C2v = D1h。

置换表示

克莱因四元群中的二阶的三个要素是可互换的：V的自同构群是这三个元素的排列组。

克莱因四元群自己的元素的排列可以被抽象地认为是它在四点上的排列表示：

在该表示中，V是四个字母上的交替群A4（以及对称组S4）的正常子群。事实上，它是从S4到S3的同态内核。

S4内的其他表示如下：

但它们不是S4的正常子群。

代数

根据伽罗瓦理论，克莱因四元群的存在（特别是其置换表示）解释了由Lodovico Ferrari建立的计算四次方程根的公式： S4→S3对应于立方，以拉格朗日解析度计。

在有限环的建立中，有四个元素的十一个环中有八个具有克莱因四元群作为其加性子结构。

如果R×表示非零的乘法组，R +是正数的乘法组，则R××R×是环R×R的单位组，R +×R +是R××R的子组 ×（实际上是R××××××××××××××××××）商组（R××R×）/（R +×R +）与克莱因四元群是同构的。以类似的方式，分裂复数环的单位组除以其本体成分，也导致克莱因四元群的形成。

图论

作为交替组A4的子组的克莱因四元群不是任何简单图的自动组。然而，它是双顶点图形的自同构组，其中顶点以两个边缘彼此连接。它也是以下简单图的自同构群，但是在置换表示{（），（1,2），（3,4），（1,2）（3,4）}中，其中点被标记左上角，左下角，右上角，右下角：