对合

数学领域术语

对合，数学领域术语，在数学中，对合(involution)或对合函数，是自己的逆函数的函数，就是说f(f(x)) = x 对于所有 f 的定义域中的 x。

概念

在数学中，对合(involution)或对合函数，是自己的逆函数的函数，就是说f(f(x)) =x对于所有f的定义域中的x。

一般性质

对合是双射。

恒等映射是对合的平凡例子。对合的更有趣的数学中常见的例子包括算术中的乘以 −1 和取倒数，集合论中的补集，和复共轭。

其他例子包括圆反演、ROT13变换，和 Beaufort 多字母表密码。

巴拿赫代数中

对合*是巴拿赫代数A的一个到自身的反线性映射，且满足

(xy)*=y*x*，x**=x

在几何中

三维欧几里得空间中对合的简单例子是对一个平面的反射。做两次反射就回到了起点。

这个变换是仿射对合的特殊情况。

在代数中

在线性代数中，对合是线性算子 T 使得 T2= I。除了有特征 2，这种算子可对角化为在对角线上有 1 和 -1。如果这个算子是正交的(正交对合)，它是正交可对角化的。

对合有关于幂等；如果 2 是可逆的，(在特征不是 2 的领域中)，它们是等价的。

在环论中

在环论中，对合通常意味着是自己逆函数的自同态。例子包括复共轭和矩阵的转置。

在群论中

在群论中，一个群的元素是对合，如果它的阶为 2；也就是说，对合是一个元素a，使得 a ≠ e 且 a2= e，其中 e 是单位元。这个定义原来与以上的定义没有任何不同，因为群的元素总是从一个集合到它本身的双射，也就是说，“群”的意思是“置换群”。到了 19 世纪末，群的定义变得更加广泛，相应地，对合也变得更加广泛。由一个对合通过复合函数生成的双射群，与循环群 C2 同构。

一个置换是对合，当且仅当它可以写成一个或多个不重合的对换的乘积。

群的对合对群的结构有很大影响。对合的研究在有限单群分类中是十分有用的。

数理逻辑中

在布尔代数中补运算是对合。因此在经典逻辑中的否定满足“双重否定律”:¬¬A等价于 A。

一般在非经典逻辑中，满足双重否定律的的否定叫做对合性的。在代数语义中，这样的否定被实现为在逻辑真值的代数上对合。有对合性否定的逻辑的例子有 Kleene 和 Bochvar 的三值逻辑、Łukasiewicz 多值逻辑、模糊逻辑 IMTL 等。对合性否定有时作为额外的连结词而增加到有非对合性否定的逻辑中；比如形式模糊逻辑。

否定的对合性是逻辑和对应的代数簇的重要特征性质。例如，对合性否定从Heyting代数中特征化出了布尔代数。相应的，经典布尔逻辑可印发自直觉逻辑加上双重否定律。

在射影几何中

因为恒同变换在几何上是无意义的，于是约定这里讨论的对合非恒同。因为在射影几何中，点线是对偶的，而二次点列有可以有线束过度到点列，所以在此讨论点列对合的性质，亦适用于线束和二次点列。

对合的射影几何判定，（这里约定P,P'为对应元素，对其他字母亦是如此）(PP',AB)=(P'P,A'B')（交比），对于不变元素EF，有(PP',EF)=-1（调和点列）。对于二次点列的对合，还有一些好的性质。对应元素的连线共点，称为对合中心，此点为对应射影轴的极点。

如图1中A,A';B,B';C,C'分别对合，所以它们连线交于公共点O.而对于射影变换,如果A映射到A',B映射到B',那么AB'和A'B的交点在射影轴（直线）上。所以我们看到图1中AB'和A'B的连线的交点在射影轴上，同样对应的，我们将这些割线退化到切线，得出对于对合变换，对应点的切线的交点也在射影轴上。通常从圆外一点引切线和割线的题目，通常也于二次点列的对合有关。通过配极，还可以得到对应元素的切线交于射影对应轴上。另外还有迪沙格对合定理，它联系了直线上的对合变换和二次曲线上的对合变换。即给定二次曲线上一个对合变换和其上一个固定点P，二次曲线上对合的点和P的连线确定过P点的一个线束，于是这个线束同任何固定直线的交点同样确定这条直线上的对合变换。

如图2，有椭圆上一点P以及对合的二次点列A,A';B,B';C,C'.连接PA,PA',PB,PB',PC,PC'等交固定直线同样确定直线上的对合变换：A,A';B,B';C,C。对于直线上对合变换，任取平面上一点X,过定点X和对合的点的圆将过另外一个定点Y（同样如图2），更加一般的：二次曲线系（二阶线束）交于四定点，每条二次曲线与一不过这四点的定直线的交点是对合的对应元素，其逆定理也成立。当二次曲线退化成直线，则变成完全四点形，当直线经过对边交点时，则成了完全四点形调和性定律。

对合的总数

在有 n = 0, 1, 2, … 个元素的集合上对合的数目给出自递推关系:

a(0) = a(1) = 1;

a(n) = a(n − 1) + (n − 1) × a(n − 2), 对于 n > 1.

这个序列的前几项是 1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232

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