环论

代数分支学科

环论是研究环的性质及其运算规律的代数分支学科。近代环论也包含了非结合代数。环论在域论中起决定性作用，在泛函分析中也获得广泛应用。

简介

“环”是抽象代数研究中的基本对象之一。环和理想的构造在19世纪已为人熟知，并应用在戴德金(Dedekind,R.)和克劳尼克(Kronecker,L.)等关于代数数的著作中。克劳尼克(Kronecker,L.)将环称为“order”，希尔伯特(Hilbert,D.)才引进了“ring (环)”这一词。但是抽象的理论是在20世纪发展起来的。至诺德爱米(Noether,N.)将其置于系统化和公理化的基础上。

概念起源

环的概念原始雏型是整数集合。它与域不同之处在于对于乘法不一定有逆元素。抽象环论的概念来源一方面是数论，整数的推广——代数整数具有整数的许多性质，也有许多不足之处，比如唯一素因子分解定理不一定成立，这导致理想数概念的产生。戴德金在1871年将理想数抽象化成“理想”概念，它是代数整数环中的一些特殊的子环。这开始了理想理论的研究，在诺特把环公理化之后，理想理论被纳入环论中去。

环的概念的另一来源是19世纪对数系的各种推广。这最初可追溯到1843年哈密顿关于四元数的发现。他的目的是为了扩张用处很大的复数。它是第一个“超复数系”也是第一个乘法不交换的线性结合代数。它可以看成是实数域上的四元代数。不久之后凯莱得到八元数，它的乘法不仅不交换，而且连结合律也不满足，它可以看成是第一个线性非结合代数。其后各种“超复数”相继出现。

1861年，魏尔斯特拉斯证明，有限维的实数域或复数域上的可除代数，如满足乘法交换律，则只有实数及复数的代数(1884年发表)。

1870年戴德金也得出同样结果(1888年发表)。

1878年弗洛宾尼乌斯(F·G·Frobenius，1849—1917)证明实数域上有限维可除代数只有实数、复数及实四元数的代数。

1881年小皮尔斯也独立得到证明。1958年用代数拓扑学方法证明，实数域上有限维可除代数，连非结合可除代数也算在内，只有1，2，4，8这四种已知维数。可见实数域及复数域具有独特的性质。

环论起源

环论的另一来源是代数数论及代数几何学及它们导致的交换环理论。1871年戴德金引进理想概念，开创了理想理论。环这个词首先见于希尔伯特的数论报告。代数几何学的研究促使希尔伯特证明多项式环的基定理。在20世纪初英国数学家腊斯克(E·Lasker，1868—1941)及麦考莱(F·S·Macaulay，1862—1937)对于多项式环得出分解定理。对于交换环的一般研究来源于E·诺特。她对一般诺特环进行公理化，证明准素分解定理从而奠定交换环论乃至抽象代数学基础，其后克鲁尔(W·Krull，1899—1971)给出系统的研究，他还引进了最值得注意的局部环。四十年代，薛华荔、柯恩(I·S·Cohen，1917—1955)及查瑞斯基(O·Zariski，1899—1986)对局部环论进行了系统的研究。

研究成果

关于域上线性结合代数的研究在19世纪末处于枚举阶段，1870年老皮尔斯(B·Peirce，1809—1880)发表《线性结合代数》，列举6维以下的线性结合代数162个。他还引进幂零元与幂等元等重要概念为后来的结构理论奠定基础。

1898年、嘉当(E·Cartan)在研究李代数的结构基础上，对于结合代数进行类似的研究，1900年，德国数学家摩林(T·Molien，1861—1941)征明，复数域上维数≥2的单结合代数都与复数域上适当阶数的矩阵代数同构。线性结合代数的结构定理是1907年由美国数学家魏德本(J·HM·Wedderburn，1882—1948)得出的：线性结合代数可以分解为幂零代数及半单代数，而半单代数又可以表示为单代数的直和。单代数可表为域上可除代数的矩阵代数。这样结合代数就归结为可除代数的研究。可除代数有着以下的结果。1905年魏德本证明：有限除环都是(交换)域，也即伽罗瓦域。当时除了伽罗瓦域及四元数之外，不知道有别的除环。20世纪虽然发现了一些新的除环，但除环的整个理论至今仍不完善。

从线性结合代数到结合环的过渡是阿廷完成的。1928年，阿廷首先引进极小条件环(即左、右理想满足降键条件的环，后称阿廷环)，证明相应的结构定理。对于半单环的分类，雅可布孙(N。Jacobson，1910—)创立了他的结构理论。他认为对任意环均可引进根基的概念，而对阿廷环来说，根基就是一组真幂零元。对于非半单的阿廷环(主要出现于有限群的模表示中)，如福洛宾尼乌斯代数及其推广也有许多独立的研究。而与阿廷环对应的是诺特环，对于有么无的环，秋月康夫(1902—1984)及霍普金斯(C·H opkins)证明阿廷环都是诺特环。对于诺特环，却长期没有相应的结构理论。一直到1958年英国数学家戈尔迪(A·W·Gold－ie)才取得突破，他证明任何诺特半素环都有一个阿廷半单的分式环，这才促进了新研究。与诺特环平行发展的是满足多项式等式的环。

环表示论及同调方法的应用对结合环理论有极大促进。

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