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满子范畴

数学名词

满子范畴（full subcategory）是是一种特殊的子范畴。

定义
定义1
范畴D称为C的子范畴(sub category)，如果是的子类，而且D中的态射的合成和C是一样的。例如，Poset是Set的子范畴。又如果，则称D是C的满子范畴(full subcategory)。例如，Grp是Mon的满子范畴。
定义2
设S为范畴C的子范畴，若从S到C的包含函子为满函子，则S称为C的满子范畴。
相关概念
模范畴对偶性
模范畴对偶性(duality in categories of modules)是模范畴等价的对偶概念。设C和D是两个范畴，和是两个逆变函子，若有自然等价和，则称与是对偶函子，而称C与D是对偶范畴。模论中考虑较多的问题是：在模范畴和中是否有满子范畴和，以及和之间的加性逆变函子，使得与是对偶函子，和是对偶范畴，此性质就称为模范畴的对偶性。
模范畴等价
模范畴等价(equivalence of categories of modules)是对模范畴的一种刻画，存在等价函子的模范畴称为等价的模范畴。设是模范畴，若存在加性共变函子
和
使得GF自然同构于的恒等函子，FG自然同构于的恒等函子，则称函子F与G等价，且称模范畴与是等价的，记为
此时，也称环A与B是森田纪一相似的，记为。两个模范畴C，D等价的充分必要条件是，存在全忠实函子，并且对任意，总有，使得同构于。模范畴的等价理论是模论的一个重要组成部分，森田纪一(Morita Kiiti)于1958年讨论了两个模范畴的等价和对偶，得到了一系列深刻而又漂亮的结果，森田纪一的工作是经典的阿廷-韦德伯恩定理在模上的推广，现在他的工作已发展成所谓的森田纪一理论。
森田纪一对偶定理
森田纪一对偶定理(Morita theorem on duality)是模范畴对偶性的重要定理。设C和D是和的满子范畴，且，又对任意，若，则必有，这里。若和是对偶函子，则一定存在双模，使得：
1.
2.
3. C和D中每个模都是U自反模。
在一个模范畴中，不可能每一个模都是U自反模，所以模范畴的对偶只能在满子范畴之间存在。
塞尔子范畴
塞尔子范畴(Serre subcategory)是阿贝尔范畴的一种子范畴，它在同调代数等学科中有重要应用，也是定义商范畴的基础概念。设C为阿贝尔范畴，D为C的满子范畴且满足：对C中任意的正合列，当且仅当且(即，当且仅当B的子对象与商对象都是D的对象)，此时称D为C的塞尔子范畴，塞尔子范畴仍为阿贝尔范畴。
公布时间
1993年，经全国科学技术名词审定委员会审定发布。
出处
《数学名词》第一版。
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