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全局渐近稳定性

全相空间均为吸引区域的渐近稳定性

全局渐近稳定性(global asymptotic stability)是指一类全相空间均为吸引区域的渐近稳定性。对于线性系统而言，一个线性系统如果全局渐近稳定，那么一定是渐进稳定。

总体介绍
全局渐近稳定性是一类全相空间均为吸引区域的渐近稳定性。考虑微分方程组
其中在域上定义且连续并满足局部李普希茨条件，同时设，因此，对任何初始值，存在(1)的惟一的解满足。由李亚普诺夫第二方法知道，如果存在一个定正函数，它关于(1)的导数是定负的，那么，方程(1)的奇点是渐近稳定的，方程组(1)的奇点的吸引区域(或称渐近稳定性区域)是所有具有性质
的点的集合。如果吸引区域是整个相空间，则被称为全局渐近稳定的，这时下面的结论成立：如果存在定正函数，它关于(1)的导数是定负的，并且是径向无界的，则奇点是全局渐近稳定的，李亚普诺夫(А.М.Ляпунов,)原来只考虑原点附近即局部的稳定性，克拉索夫斯基(Н.Н.Красовский)将其推广为全相空间，即全局的稳定性。
相关概念定理
平衡状态
考虑如下非线性动态系统(可以是控制量保持不变的被控对象，也可以是包括被控对象和控制器在内的闭环系统)的状态方程
式中，为n维状态向量；为初始状态；为连续时间变量；为初始时刻。
如果状态空间存在某一状态满足
则称是系统的一个平衡状态，也称平衡点。也就是说，只要无外力作用于系统，存平衡点处系统状态的变化速度为0，系统将永远保持在这个平衡状态上。
稳定性
如果对于任意给定实数，存在一个与和有关的实数，只要初始状态满足，系统状态方程式(2)的解满足
那么，称系统的平衡点是Lyapunov意义下稳定的。
注释： 定义中实数通常有，定义的直观含义是，在系统受到较小的初始扰动后。系统运动的轨线不会偏离平衡点很远。在二维情况下，设,的分量分别是和，那么在和组成的二维状态空间平面中．状态方程式(2)的解就是起点为的一条连续的运动轨迹。定义所指的Lyapunov意义下稳定的含义如图1(a)所示。
另外，凡是不满足稳定性定义的系统是不稳定系统，其直观意义如图1(d)所示。
渐近稳定性
连续时变非线性系统的状态空间模型的一般形式为
式中，为n维状态变量，和分别为系统的输入和输出向量；t为连续时间变量；为 对时间t的一阶导数；和分别为关于和的有界、连续可微的非线性向量函数；n为系统的阶次。
如果式(3)所示动态系统的一个平衡状态满足
(1) 是Lyapunov意义下稳定的；
(2) 存在一个实数，使得只要初始状态满足，就有
则称是渐近稳定的。
注释: 定义的含义是一切由平衡点的，个小的邻域m发的运动轨线，最终都将收敛到平衡点处，如图1(b)所示。
全局渐近稳定性的意义
如果式(3)所示动态系统的一个平衡状态对所有有
① 是稳定的；
② 则称是全局渐近稳定的。
注释： 定义的直观解义如图1(c)所示。对于线性系统而言，一个线性系统如果全局渐近稳定，那么一定是渐进稳定。
上述各种稳定性定义之间的包含关系如图2所示。
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