全正元

全正元(totally positive element)是序域中的特殊元素。属于域中所有正锥之交的元。域F的非零元，它关于F的每个序都是正的，或者说属于F的每个正锥。全正元有如下的刻画：0≠a∈F是个全正元，当且仅当a可表成F中一些元素的平方和。

设F是域K的子集，对于K的加法和乘法运算，F也做成一个域，则称F是K的一个子域，K是F的一个扩域，记作K/F，称K/F为一个域扩张。设，E/F和K/E都是域扩张，则称E是K/F的一个中间域。设F是域K的子域，T是K的子集，K/F的含T的所有中间域的交仍是K/F的中间域，这个域记作F(T)，称为F添加T所得到的扩域，或称T在F上生成的域。当T= {t1，…，tn} 是K的有限子集时，记F(T)=F(t1，…，tn)，称这个域是在F上有限生成的。特别地，添加一个元素t于F中而得到的扩域F(t)称为F的单扩域。域F的扩域K可以看成F上的向量空间，如果K在F上的维数是有限的，则称K是F的有限次扩域，K/F是有限次域扩张。K在F上的维数记作〔K：F〕，称为K在F上的次数。设E是域扩张K/F的中间域，则〔K：F〕=〔K：E〕〔E：F〕。如果一个域没有真子域，就称为一个素域，在同构的意义下，只有有理数域Q和以素数p为模的剩余类环Z/(p)是素域。任何一个域F的一切子域的交F0是一个素域，如果F0≌Q，则称F是特征零的，如果F0≌Z/(p)，则称F是特征p的，F的特征记作CharF。设F是域K的子域，α∈K称为F上的代数元，如果存在F上的非零多项式f(x)，使得f(α)=0，否则，则称α是F上的超越元。设K/F是一个域扩张，如果K的每个元都是F上的代数元，则称K/F是代数扩张，否则称K/F为超越扩张。设K/F是一个域扩张，设A是K中在F上的代数元的全体，则A是K/F的中间域，称F在K中的代数闭包。一个域K称为是代数闭域，如果K〔x〕中每个次数大于零的多项式在K中有一个根。域F的一个扩域Ω称为F的代数闭包，如果 (1)Ω是代数闭域;(2)Ω是F的代数扩域。任何一个域都有一个代数闭包。设E，E′都是域F的扩域，如果E，E′都域F的某个扩域的子域，而且存在E到E′的同构使F中的元不动 (称为F-同构)，则称E与E′在F上共轭，简称F-共轭。设E/F是一个域扩张，如果E/F是代数扩张，而且任意与E是F-共轭的域都等于E，则称E/F是正规扩张。设F是一个域，f(x)∈F[x]，degf(x)>0，如果K是F的扩域，在K[x]中，f(x)=a(x-a1) …(x-an)，a∈F，a1，…，an∈K，而且K=F(a1，…，αn)，则称K是f(x)在F上的一个分裂域。域F上的次数大于零的多项式f(x)，如果在F的某个代数闭包Ω内的根都是单根，则称f(x)是可分的，否则就是不可分的。a是域F上的代数元，a满足的最高次项系数为1的最低的多项式称为a的极小多项式。设K/F是一个代数扩张，如果K的每个元素在F上的极小多项式都是可分的，则称K/F是一个可分扩张。只含有限个元素的域称为有限域，有限域的特征必是某个素数p。设F含有q个元素，F的素域p含有p个元素，[F： P] =f，则q=pf。两个有限域同构当且仅当它们有相同的元素个数。设Fg是含有q个元素的有限域，Fg的一切非零元素对于Fg的乘法做成q-1阶循环群，从而有限域的有限次扩域都是单扩域。

一种特殊的域。它是有序结构的域。一个域F，若在它的元素之间存在一个二元关系>，满足下述条件：

1.对于任意a∈F，必有a=0或a>0或-a>0三者之一成立(0指F的零元)；

2.从a>0，b>0可导出a+b>0及ab>0；

则称>是F的一个序，带有序>的域F称为序域，记以(F，>)。凡是能在其中规定序的域，就称为可序的，或称可序域。在实数域R和有理数域Q中，通常的大小关系就给出它们的一个序。因此R和Q都是可序域，而且，它们只能有这样给出的序。不过，并非所有的可序域都只有惟一的序。

域论的重要概念。它是与序可转换的域中的特殊子集。域F的子集P，若满足下列条件：

1.P∪-P=F;

2.P∩-P={0};

3.P+PP;

4.P·PP;

则称P为F的正锥。域的正锥和序是两个可以互相转换的概念。给定F的一个序<，子集P={a∈F|a>0或a=0}就是F的一个正锥；反之，从一个正锥P，设a

正锥是偏序群的正元素集。若G是偏序群，则G的正元素集G={g∈G|g>0}及G的负元素集G={g∈G|g<0}分别称为G的正锥及负锥。G满足如下条件：

1.G+GG.

2.G∩-G=G∩G={0}.

3.对任意a∈G有a+G-aG.

反之，若P是群G的子集，G的运算记为+，且P满足条件1，2，3，对任意x，y∈G，定义x>y当且仅当x-y∈P，则由P可诱导出G的一个序，使G成为偏序群，且P=G.于是，一个偏序群的序完全由满足上述条件的子集P所确定，因此，亦称P是G的一个序。