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正锥

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正锥是偏序群的正元素集，若G是偏序群，则G的正元素集G+={g∈G|g>0}及G的负元素集G-={g∈G|g>0}分别称为G的正锥及负锥。G+满足三个条件: 1.G++G+⊆G+；2.G+∩-G+=G+∩G-={0}；3.对任意a∈G有a+G+-a⊆G+。反之，若P是群G的子集，G的运算记为+，且P满足条件1、2、3，对任意x，y∈G，定义x>y当且仅当x-y∈P，则由P可诱导出G的一个序，使G成为偏序群，且P=G+，于是，一个偏序群的序完全由满足上述条件的子集P所确定，因此，亦称P是G的一个序。

基本介绍
在给定的线性空间中，可以引进一个凸锥来规定一种序关系。这是讨论线性空间中不等式关系的一个必不可少的前提。
定义 设X是一个线性空间，P足X中的一个凸锥，并且对于任意的 与 ，若 ，则记为 。对于这样的P称为X中的一个正凸锥，有时简称为正锥；若令 ，则称N为X中的负凸锥，简称为负锥。显然，若 ，则有 。
例如，在 中凸锥
它定义了En中的正卦限；又例如，在区间 上所有函数构成的线性空间中，其凸锥自然可以定义为 上的所有非负函数构成的集合。
正锥与凸映射
很容易验证，上述定义中的序关系，满足以下三条性质：
1.自反性 。
2.传递性 若 ，又 ，则 。
3.对称性 若 ，又 ，则 。
如果在X中定义了序关系“≥”，并且满足上述三条公理，那么就称在X中用正锥P定义了偏序关系。对于偏序关系我们需注意，在X中并非任意两个元素都是可比的，所以才称之为偏序。
在赋范线性空间中，有时用闭凸锥来定义正锥具有特殊的意义。另外，如果x是正锥P的一个内点，那么可以把它记为 。对于许多应用问题，为了能够使用凸集分离定理，P至少要有一个内点，这是必不可少的条件。
给定一个赋范线性空间X与一个正凸锥 ，还可以在其对偶空间X*中定义一个对应的对偶正凸锥
对此， ，又可以记作 。
即使P不一定是闭的，而 却总是闭的。如果P是闭的，那么在P与 之间有下列关系：
命题1 设X是一个赋范线性空间，P是X中的正凸锥，并且P是闭的。若x∈X，对于所有的 ，满足 则 。
证明： 用反证法假设不成立，即，那么根据凸集分离定理，即知存在一个闭超平面，亦即有界线性泛函，使得对于所有的p∈P，由于P是闭的，应有。由于P是X中的凸锥，所以，所以特别有，此与命题之假设不符。故必有，即。
命题2 设X是一个赋范线性空间，P是X中的正凸锥，若 ，则对于所有非零的 ，有 。
证明:由于是P的内点，所以存在一个以为中心，以r>o为半径的闭球，即当时，有。由于，所以，即。从而根据范数的定义，有
以上，我们已经推广了向量不等式的概念，这就有可能使我们引进关于映射的凸性定义。
定义 设X是一个线性空间，Z也是一个线性空间，在Z中具有正凸锥P。若映射 ，G的定义域是Ω，Ω是X中的凸集，并且对于所有的x1，x2∈Ω以及α∈ [0，1]，有
则称G是一个凸映射。
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