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八元数

四元数的一个非结合推广

八元数（英文：Octonion；德文：Oktaven），八元数是四元数的一个非结合推广，通常记为O。

历史
八元数第一次被描述于1843年，于一封John Graves给哈密顿的信中。后来八元数由凯莱在1845年独自发表。凯莱发表的八元数和John Graves给哈密顿的信中所提及的并无关系。
定义
八元数可以视为实数的八元组。每一个八元数都是单位八元数{1,i,j,k,l,il,jl,kl}的线性组合。也就是说，每一个八元数x都可以写成 其中系数xa是实数。
八元数的加法是把对应的系数相加，就像复数和四元数一样。根据线性，八元数的乘法完全由以下单位八元数的乘法表来决定。
凯莱-迪克松构造
一个更加系统的定义八元数的方法，是通过凯莱-迪克松构造。就像四元数可以用一对复数来定义一样，八元数可以用一对四元数来定义。两对四元数(a,b)和(c,d)的乘积定义为：
其中 表示四元数z的共轭。这个定义与上面给出的定义是等价的。
法诺平面记忆
一个用来记忆八元数的乘积的方便办法，法诺平面中有七个点和七条直线（经过i、j和k的圆也是一条直线），这些直线是有向的。七个点对应于Im(O)的七个标准基元素。每一对不同的点位于唯一的一条直线上，而每一条直线正好通过三个点。
共轭、范数和逆元素
八元数
的共轭为：
共轭是O的一个对合，满足 （注意次序的变化）。
x的实数部分定义为½(x+x) =x0，虚数部分定义为½(x-x)。所有纯虚的八元数生成了O的一个七维子空间，记为Im(O)。
八元数x的范数定义为：
在这里，平方根是定义良好的，因为 总是非负实数：
这个范数与R上的标准欧几里得范数是一致的。
O上范数的存在，意味着O的所有非零元素都存在逆元素。x≠ 0的逆元素为：
它满足 。
性质
公式简介
八元数的乘法既不是交换的：
也不是结合的：
然而，八元数确实满足结合性的一个较弱形式──交错性。这就是说，由任何两个元素所生成的子代数是结合的。实际上，我们可以证明，由O的任何两个元素所生成的子代数都与R、C或H同构，它们都是结合的。由于八元数不满足结合性，因此它们没有矩阵的表示法，与四元数不一样。
八元数确实保留了R、C和H共同拥有的一个重要的性质：O上的范数满足
这意味着八元数形成了一个非结合的赋范可除代数。所有由凯莱-迪克松构造所定义的更高维代数都不满足这个性质。它们都有零因子。
这样，实数域上唯一的赋范可除代数是R、C、H和O。这四个代数也形成了实数域上唯一的交错的、有限维的可除代数。
由于八元数不是结合的，因此O的非零元素不形成一个群。然而，它们形成一个拟群。
自同构
八元数的自同构A，是O的可逆线性变换，满足：
O的所有自同构的集合组成了一个群，称为G2。群G2是一个单连通、紧致、14维的实李群。这个群是例外李群中最小的一个。
参见
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