公理化位势论

位势理论

公理化位势论（axiomatic potential theory）是在抽象空间里通过设置公理的方法建立起来的位势理论。

简介

公理化位势论是在抽象空间里通过设置公理的方法建立起来的位势理论。

分类

公理化体系大致可分成三类。第一类是调和空间论，第二类是狄氏型（又称狄利克雷形式），第三类是非线性公理体系。相对第三类而言，第一、二类都属于线性公理体系。由于位势论的大部分结果都可由其三个基本原理（即狄利克雷问题、极小值原理和收敛性质）导出，且为了适应偏微分方程和随机过程的需要，公理化位势论迅速地发展起来，它提供了统一处理问题的方法。

从20世纪50年代起，陶茨(Tautz,G.)、杜布(Doob,J.L.)和布雷洛(Brelot,M.E.)等人做了开创性的工作，但由于他们处理问题的各自需要，其公理系统也因此互有一差异。

20世纪70年代初期，康斯坦T斯库(Constantinescu,c.)和柯尼(Cornea,A.)在此基础上建立了一般的调和公理系统。

调和空间论

通常在一个局部紧的豪斯多夫空间上，给出一个函数簇，规定其满足若干公理（即所谓的调和公理），也就是规定了狄利克雷问题的可解性、极小值原理成立的可能性以及具有某种的收敛性质，这构成了调和空间。调和函数、上（下）调和函数和位势的概念也自然而然地建立了。应用经典位势论的典型方法，经典位势论中的主要概念，如扫除、细拓扑、容量、极集、瘦集、格林函数、能量、狄利克雷积分和一些特殊边界等，以及与它们相关的问题，都可以推广到调和空间上来并加以研究。

比较典型的调和空间有布雷洛空间和鲍尔空间。前者是以经典位势论的研究对象拉普拉斯方程为模型的，因此，布雷洛空间上的位势论与经典理论最为接近，成果也最多.二阶椭圆型偏微分方程均满足布雷洛公理系统，但热传导方程则不然，为此鲍尔(Bauer,H.)等人建立了鲍尔空间。拉普拉斯方程不但为公理化位势论的形成提供了原始模型，而且指导着该领域里的大部分研究工作。

20世纪80年代形成的扫除空间论和H锥理论是调和空间论的推广和发展。

狄氏型

第二类公理体系不同于第一类，它是从经典的狄利克雷原理和相互能量的定义出发建立起来的。50年代末由戴尼(Deny,J.)和博灵(Beurling,A.)提出了狄利克雷空间论，现已发展为狄氏型，主要研究定义在希尔伯特空间上的一个双线性泛函，在满足什么条件时可与马尔可夫过程建立对应关系。

70年代，富山(Fukushima,M.)在正则的狄氏型上构造出强马尔可夫过程被认为是一个重大突破。

20世纪90年代初，马志明等成功地解决了拟正则狄氏型的问题。该理论可应用于非相对量子力学、马尔可夫场、伪微分方程、反射扩散过程、无穷维随机分析、秧论等领域的研究。

非线性公理体系

20世纪80年代以来，亚当斯(Adams,D.R.)，黑德波格(Hedberg,L.I.)、勒达拉(Lehtola,P.)、马梯尔(Martio,O. )、林德维斯特(Lindqvist,P.)等人对非线性及拟线性位势论研究作出巨大成绩并初步建立了非线性公理体系，其中勒达拉建立的非线性系统是布雷洛调和空间的直接对应。

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