格林函数

数学函数

在数学中，格林函数是一种用来解有初始条件或边界条件的非齐次微分方程的函数。在物理学的多体理论中，格林函数常常指各种关联函数，有时并不符合数学上的定义。

简介

格林函数法是数学物理方程中一种常用的方法。

格林函数是物理学中的一个重要函数。在数学物理方法中，格林函数又称为源函数或影响函数，是英国人G.格林于1828年引入的。

物理学中单体量子理论所使用的格林函数，其定义稍有扩充。它满足方程:(E-H)G(r,rt,E)=(r-rt)，其中H是单粒子哈密顿量,可以包括外场及杂质势等。单格林函数在无序体系研究中有重要应用，例如用平均T矩阵近似、相干势近似求态密度。

多体量子理论的格林函数自20世纪60年代以来已成为凝聚态理论研究的有力工具。物理当中格林函数常指用于研究大量相互作用粒子组成的体系的多体格林函数。多体格林函数代表某时某地向体系外加一个粒子，又于它时它地出现的几率振幅。格林函数描写粒子的传播行为，又称为传播子。

为了研究多粒子体系在大于绝对零度时的平衡态行为，引入了温度格林函数。由于温度的倒数和虚时间有形式上的对应，温度格林函数也称为虚时间格林函数。为了研究T=0K的非平衡态行为，[kg2]引入了T=0K的时间格林函数及闭路格林函数。

在量子场论中计算具体物理过程的矩阵元时，也常出现格林函数，其物理意义也是代表粒子传播的几率振幅。由于多体格林函数T=0K时对应于它，所以量子场论中的费因曼图解法也可用于多体格林函数。重正化群方法来也用于凝聚态研究中，例如近藤效应、一维导体。

定义

给定流形M上的微分算子L，其格林函数，为以下方程的解

其中为狄拉克δ函数。此技巧可用来解下列形式的微分方程：

若L的零空间非平凡，则格林函数不唯一。不过，实际上因着对称性、边界条件或其他的因素，可以找到唯一的格林函数。一般来说，格林函数只是一个广义函数。

用途

在物理学中的应用

格林函数在凝聚态物理学中常被使用，因为格林函数允许扩散方程式有较高的精度。在量子力学中，哈密顿算子的格林函数和状态密度有重要的关系。由于扩散方程式和薛定谔方程有类似的数学结构，因此两者对应的格林函数也相当接近。

在生物医学光子学中的应用

在时域测量中，由于无限短的脉冲激励源可视为组织体边界下自由传输深度ls处的弥向的无限短脉冲点源（光子在t=0时刻同时入射），该冲击响应也因此被称为格林函数。格林函数对于解线性系统在实际光源激励下的响应问题具有很重要的意义。如果实际的光源为具有一定强度空间分布、时间分布、角度分布的光源，则此光源下的系统响应可表示为格林函数与光源分布函数的乘积在全空间、角度和时间域的积分。

例如，假设投射到组织体表面的光源的光子密度分布为q(r,s’,t)，系统的格林函数为G(r,s’,t)，则q(r,s’,t)下系统的响应为

为区别起见在后续将格林函数统一用G(r,t)表示，由于关于的格林函数表示为，于是时变扩散方程

有 (3.56)

对于均匀媒质，上述方程的频域形式可表示为 (3.57)

在式(3.56)中令或在式(3.57)中令，即得稳态（或直流）扩散方程。对于均匀媒质，稳态（或直流）扩散方程表示为。

无限媒质格林函数的解析求解

作为其余各解析求解的基础，下面将首先建立无限媒质中的光学响应。为此，对式（3.57）两边取三维空间傅立叶变换 (3.58)

式中，s为频域空间矢量。对式(3.58)求空间的傅里叶逆变换，得

(3.59)

根据，并令r的方向与s之方向一致，有

(3.60)

式中，，，。

考虑到，所以。进一步得

(3.61)

式中被积函数为偶函数，且在复平面有两个一阶极点：，分别位于上下半平面，其中第一项时趋于零，因此围道积分应在下半平面进行；反之式(3.61)第二项围道积分应在上半平面进行，于是根据留数定理 (3.62)

对上式求傅里叶反变换，得时域无限均匀媒质下的格林函数

(3.63)

于是由式(3.63)和式(3.54)可得

(3.64)

式中，为r方向单位矢量。当连续以一定的速率注入光子，即稳态时，无线均匀媒质下的格林函数为

(3.65)

式中称为有效衰减系数。称为穿透深度。

平面半无限空间格林函数

对于如图1、图2所示的半无限空间，格林函数可利用上述全空间解和镜像原理求得。我们仍然假定各向同性点光源位于组织体表面下处。下面介绍镜像源的添加原理。

（1）零边界条件情况下

如图1，在物理边界上采用Dirichlet边界条件，可在z<0半空间填充媒质并在处加入负镜像点源。则根据唯一性原理，此时z=0区域的解与原问题解相同，则可实现半无穷空间的零边界条件，这样实际的物理边界就可以移去，从而可根据全空间的解式(3.63)可得半无穷空间任意一点A处(r=(x,y,z))的解

(3.66)

式中，。和为和向的单位矢量，根据Fick原理，在边界上(z=0)距源的距离为的点测得到的漫反射光流量为

(3.67)

当时，从式(3.67)可以得到

(3.68) (3.69)

式(3.69)说明，吸收系数可以通过对对t的曲线在t为无穷大时的斜率得到。另外扩散系数也可以通过的最大点计算得到。由于在与t的关系曲线上，顶点处斜率为零，如果设此时对应的时间为并考虑到，则根据式(3.68)可得 (3.70)

由上面的几个公式可以看出，媒质的光学参数可以通过测量一定距离下扩散光随时间的变化曲线得到，这也是漫射光谱技术用于测量光学参数的理论基础。

（2）外推边界情况下

在外推边界条件下，物理边界可以通过在外推边界上部的处放置镜像源而移去，见图2。参考零边界条件的推导结果，相应地，对于外推边界条件 (3.71)

根据Fick定律，组织体表面的检测光流量为

(3.72)

式中，，。

对于稳态输入情形，在表面上(z=0)距离源为的点测得的反射光强为

(3.73)

平行平板格林函数

厚度为d的无限组织层格林函数同样可利用全空间解和镜像原理求得。设激励点光源位于组织体表面下处，为了使光子密度在z=0处满足Dirichlet边界条件（不考虑外延边界）应在1'处加镜像元。为了在z=d处满足Dirichlet边界条件，应在2和2'处加镜像源用来分别抵消1和1'在z=d处的影响。而应在2和2'处加镜像源后又会造成z=0边界不满足边界条件，所以应在放置无穷个镜像点源偶极子。于是很容易写出：

①z=0处的反射通量密度

(3.74)

式中，。

②z=d处的反射通量密度

(3.75)

式中，。

在地震工程学中的应用

格林函数在地震工程学中是计算震源机制的函数。根据其发展和应用可以分为以下几类。

随机法

随机法是将地震动模拟成有限带宽白噪声的一个时间序列，用震源谱代震级、用表示地震波传播效应因子修正谱的形状。对于大地震，震源表达为在一个延伸的断裂面上的剪切位错，断裂面上的滑动空间和时间变化用离散的方法表示。其优点是对于高频段（>1Hz）可以得到满足工程要求的近场地震动估计；缺点是对于低频段（<1Hz）往往估计过高。

经验法

经验格林函数法是运用包含断层上一个点源动力学破裂的复杂效应、震源主场地速度结构的不均匀性影响的小震记录来叠加合成较大地震的地震动时程。其优点是信度较高、较为可靠；可是其缺点同样突出，即对小震记录的要求相当苛刻，必须具有与大震相同的震源机制，小震记录的信噪比要高等等。如果在震源区找不到良好的小震记录，就不能用经验格林函数法。

理论法

理论格林函数的计算是一个相当复杂的过程，理论只有对水平成层介质推导的解析公式。计算要借助计算机实现，且介质层数受到很大的限制，很少有多于两覆盖层的结果发表。

数值法

与实际地震动观测记录的比较表明，这种在时域合成的地震动模拟，对持时、峰值加速度、短周期（1秒以下）反应谱幅值的预测精度都可以在大约-50%范围内，与经验模型的精度大体相当；对峰值速度和周期大于1秒的反应谱幅值，预测的误差要比经验模型的小。

解析法

除了以上介绍的几种格林函数的数值方法，还有解析法。解析法只能用来计算横向成层介质的格林函数，再考虑计算时间及计算方法的稳定性方面计算的层数是优先的，对较复杂的局部场地条件则无能为力。张冬丽在对格林函数的解析法和数值法对比研究后得出以下结论：

（1）无论是单一点源或是有限断层模型，利用解析法和有限差分法所得出的结果是一致的，二者均可以反映出震源、波的传播途径和场地特性（断裂和上覆盖层速度结构）。

（2）解析法用于横向成层介质的格林函数较为简便，对于地形及速度结构较为复杂的局部场地条件的格林函数，用数值模拟的方法更为合适，故两种计算方法的结合可为计算较深震源及较大的计算区域打下基础。

（3）基于射线理论和波动有限元数值模拟，采用双力偶点源模型计算断层在断层顶面引起的地震影响场（解析法），并将其作为断层上覆盖层的波动有限元数值模拟的入射场，计算（数值法）得到的格林函数是合理的。它可以兼顾波的传播途径与场地波速层与地形的复杂性，同时大大减小了计算量，提高了计算速度，也可保证模拟的稳定性和精度，为进一步计算断层运动在局部场地引起的土层地震反应提供了必不可少的条件。

发展趋势

强震观测数据分析表明，在高频和低频两个不同频段内，地震动特征显著不同。高频段充分表现地震动的随机性，低频段主要受传播途径和局部场地条件的影响。根据上述几种格林函数方法的优缺点，选择用随机法估计得高频地震动和用理论或数值格林函数方法模拟的低频的地震动在时域叠加，是现今对于格林函数方法模拟和预测地震动的发展趋势。

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