六十进制

以60为基数的进位制

六十进制是以60为基数的进位制，源于公元前3世纪的古闪族，后传至巴比伦，现仍用作记录时间、角度和地理坐标。其他文明也有使用六十进制，如西新几内亚的Ekagi族。

特点

六十进制是以60为基数的进位制。

印度-阿拉伯数字，就是一个以10为底的计数与演算系统。

例如，在234中的2代表200，25中的2代表20，而102中的2就代表2。在一个完整的进制系统中，必须要有代表“零”的符号，才能将可能缺项的位数补零。直式加减乘除，就是建立在这样的位值系统上。

至于不使用进制的系统，大概只有罗马数字还算为世人所熟悉。这也是一个以10为基底的系统，但它用I、X、C 、M表示1、10、100和1000，再加上V、L、D代表5、50及500作辅助。举例来说，1762=MDCCLXII。

若要用它作加减乘除的运算，对现代人而言是十分困难的。但是，如果熟记一些规则，比如5个I的和为V，两个V的和是X等等，再加上罗马时代也有类似中国的算盘，其实应付10000以下的运算还不会太困难。事实上，古代希腊人、希伯来人及早期的阿拉伯人使用比罗马数字更复杂的字母系统来代表数字，而且跟罗马人一样不使用零，但在当时已经足够。

巴比伦使用的这个六十进位法是个不完整的进制系统，因为它缺乏代表“零”的符号。但它与系统是很接近的，它使用59个不同的符号代表1至59，当泥板上由左至右出现5、6、3时，它的意思是 =18363。这使得一个很庞大的数字变得容易纪录。

巴比伦六十进位法如前所述，它一直没有“零”的符号，也没有小数点。虽然有时他们会将某一位空下来以代表缺项，但也因没有统一使用，让后人无法直接从数字符号上去确定它的值，此时从泥板的上下文去判断了。这样容易混淆的状况，一直到约公元前300年波斯人“发明”了“零”的符号，才大有改善，但小数点仍一直没有被使用。

基本性质

数字60有12个因子，即1、2、3、4、5、6、10、12、15、20、30和60，其中2、3和5是质数。由于拥有较多因子，六十进制的数可被较多数整除；换言之，可以分拆成多种不同的时间长度，例如一小时可以被看作2个30分钟、3个20分钟、4个15分钟等。60也是可同时被1至6整除的最小的数字。

表示方法：数字用0~9、A~Z、a~x表示，其中A~Z代表10~35，a~x代表36~59。

用途

与其他进位制不同，六十进制在一般运算和逻辑中并不常用，主要用于计算角度、地理坐标和时间。

一小时相等于60分钟，而一分钟则为60秒。于是，“3:23:17”（三小时廿三分十七秒）即相当于或小时。

当中的六十进制数字（即3、23和17）均以十进制数字写出。

相类似的是角度，一个圆形被均分成360度，每一度有60角分，一角分等于60角秒。

在农历中，有六十甲子的概念，以天干与地支两者经一定的组合方式搭配成六十对，为一个周期。

发展历史

六十进制位值记数法( sexagesimal place value notation，缩写为 SPVN)，简称为“六十进制记数法”。其发明和使用，是两河流域数学知识发展过程中的一个显著特点和独特贡献，其采用的六十进制一直保留在现代世界对时间( 小时、分、秒) 的记录中。关于这一记数法发明的具体时间，过去曾有学者论证它始于乌尔第三王朝时期，但学术界日益倾向于追溯其起源至更早的阿卡德王朝时期。

在古代的美索不达米亚时代，数字以楔形文字表达，分“个位”和“十位”，1以Y代表，2为YY，3为YYY，如此类推，直至9；10则为<，20为<<，如此类推，直至50（<<<<<），如右图。大过59个数字，就重覆以上符号作标示。闪族和早期巴比伦没有0的符号，故未必能单就一堆楔形符号即时说出其所代表的数字。到后来，巴比伦人逐渐以点代表零。

到古巴比伦时期，六十进制记数法已在数学文献中得到广泛而成熟的应用。这些数学文献的种类主要包括度量衡量值( 容积、重量、面积、长度、深度) 的列表和换算表，数表( 乘法表、倒数表、平方表、平方根表、立方根表) 以及数学习题，总数略超一千。

考古学家判断，出土这些文献的建筑物在古巴比伦时期极有可能作为学堂使用; 加之这些文献构成了这一时期数学基础教育的主要内容，所以它们通常也被称作“学堂文献”( school texts) 或“学堂泥板”( school tablets) 。两河流域的文字材料使用苏美尔语( Sumerian) 或阿卡德语( Akkadi-an) ，通常用楔形文字刻写在黏土所捏制的泥板上; 多数情况下一块泥板记录一篇文献，所以使用“文献”( text) 和“泥板”( tablet) 作为同义词。关于两河流域公开发表的数学泥板，已有题录出版。

出现原因

中国人在公元二世纪才发明造纸术，在纸张传遍欧亚大陆之前，任何足以长期保存的书写工具都是很昂贵的。而古巴比伦时代已有良好的农业发展及频繁的商业往来，再加上早熟的天象观察，使得记载庞大数字并长久保存有其必要。当时捏制一块泥板，把一些文字与数字小心地用一跟尖尖的棍子刻上去，再将之烘培定型保存起来，是十分费时的工作，可见书写文字在当时是很“昂贵”的事。这就是为什么在四千多年前，巴比伦人就发展出这种与现代位值系统相似的六十进位法的原因。

古人的天文测量活动促进了几何学的发展，在这个过程中，他们经常需要等分角，二等分，三等分，四等分……（中学时候的尺规做图就是从这种古老的几何学流传下来的），当然他们要先解决等分的数量小的情况，从二，三，四，五。。开始，如果采用60进制，由于60是2，3，4，5，6的公倍数，可以等分这些角，而如果用100进制，三等分和六等分就不能实现。古人定角度为60进制的原因很朴素，就是为了测量和作图方便，做一个量角尺，就可以按照读数来把角等分成很多份。

古代苏美社会（约公元前3200至2340年）中，只有掌控社会经济的庙宇才能使用文字纪录，此外，出土的泥板中，最大超过六公斤，面积大到要助手双手扶着供书记官书写才行。所以，用很小的空间纪录很大的数字就变得很重要，在一些较为古老泥板中，1的60倍被写成一个比较大的“1”，但后来被简化成原来的大小，再将数字放在不同位置代表60的不同倍数，带有位值便利性的六十进位法于焉诞生。

有学者相信为了统一当时的度量衡，所以用60而非10为底，因为当时可能有两种常用的单位（如同公制和英制混合使用）。

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