兰彻斯特方程

描述交战过程中双方兵力变化关系的微分方程组

兰彻斯特方程是描述交战过程中双方兵力变化关系的微分方程组。因系F.W.兰彻斯特所创，故有其名。

定义

兰彻斯特方程是描述交战过程中双方兵力变化关系的微分方程组。

发展史

因系F.W.兰彻斯特所创，故有其名。1914年，英国工程师兰彻斯特在英国《工程》杂志上发表的一系列论文中，首次从古代使用冷兵器进行战斗和近代运用枪炮进行战斗的不同特点出发，在一些简化假设的前提下，建立了相应的微分方程组，深刻地揭示了交战过程中双方战斗单位数（亦称兵力）变化的数量关系。

第二次世界大战后，各国军事运筹学工作者根据实际作战的情况，从不同角度对兰彻斯特方程进行了研究与扩展，使兰彻斯特型方程成为军事运筹学的重要基本理论之一。有些学者也将兰彻斯特型方程称为兰彻斯特战斗理论或战斗动态理论。兰彻斯特型方程与计算机作战模拟结合以后所构成的各种形式、各种规模的作战模型，在军事决策的各有关领域中得到了广泛的应用。

平方律

设在近代战斗条件下，红、蓝两军交战，双方各自装备同类武器，相互通视，并在武器射程范围内进行直接瞄准射击；双方每一战斗单位射击对方每一战斗单位的机会大致相同。将双方在战斗中尚存的战斗单位数作为连续的状态变量，以m(t)、n(t)表示在战斗开始后t时刻蓝方、红方在战斗中尚存的作战单位数，可用下列微分方程组来描述战斗过程中双方兵力随时间的损耗关系：

式中α、β分别为蓝方、红方在单位时间内每一战斗单位毁伤对方战斗单位的数目，简称为蓝方、红方的毁伤率系数。在双方使用步兵武器进行直瞄射击的情况下，毁伤率系数等于武器的射速乘以单发射弹命中目标的概率与命中目标的条件下毁伤目标概率的乘积。假设交战开始时刻蓝方、红方的初始战斗单位数为m(0)=M,n(0)=N，从上述微分方程组可知，在交战过程中双方战斗单位数符合下列状态方程：

当交战双方的初始战斗单位数与毁伤率系数之间满足时，m(t)与n(t)同时趋于零，战斗不分胜负。当时，蓝方将首先被消灭。兰彻斯特将上述关系概括为“在直接瞄准射击条件下，交战一方的有效战斗力，正比于其战斗单位数的平方与每一战斗单位平均战斗力(平均毁伤率系数)的乘积”，并称之为“平方律”。

按照这一定律，如果蓝方武器系统的单个战斗单位的平均效率为红方的4倍,则红方在数量上必须集中2倍于蓝方的兵力才可抵消蓝方武器在质量上的优势。

兰彻斯特采用下述例子说明平方律符合集中优势兵力的作战原则：“如果蓝方1000人与红方1000人交战，双方单个战斗单位的平均战斗力相同，红方被蓝方分割成各500人的两半。假定蓝方以1000人先攻击红方的500人，则蓝方将以损失134人的代价全歼红方的一半，接着蓝方以剩下的866人再全歼红方的另一半，蓝方在这两次战斗中总共损失293人。”

直接求解上述微分方程组可以得到蓝、红双方兵力随时间变化的关系：

式中：t 表示战斗时刻；m(t)，n(t)表示战斗开始后在 t 时刻蓝方、红方在战斗中剩存的战斗单位数量；α，β 分别表示蓝方、红方在单位时间内每一战斗单位杀伤对方战斗单位的比例，即战斗力系数。

从这个方程中可以推导出：

即如双方单个战斗单位的平均战斗力相等，即α=β ，上式就简化成为。当红军被全歼时，也就是 n(t)=0时，就有。

最后：

蓝方兵力=A1=1000

红方兵力=B1=B2=500

作战效率=1

蓝方战斗力=蓝方兵力×作战效率=1000

红方战斗力=红方兵力×作战效率=500

单位时间=1

蓝方集中1000人攻击红方500人，则根据公式可得

第一回合

蓝方剩余兵力=√蓝方战斗力2-红方战斗力2=√750000≈866.02

第二回合

蓝方剩余兵力=√499956≈707.07

由此我们可以看出，在两军对垒中如果武器装备落后于对手4倍水平级别，则必须在兵力上增派至4倍兵力数方可抵消对手在装备上造成的压力。即当双方的兵力总数逼近瓶颈时，装备的优劣是影响战局的主要因素。

式中ch(·)、sh(·)为双曲余弦函数与双曲正弦函数。

线性律

假定红、蓝两军各自使用武器(如火炮)对对方实施远距离间接瞄准射击，火力集中在已知对方战斗单位的集结地区，该区域的大小与对方部队的数量无关。此时一方的损伤率与对方向其开火的战斗单位数量成正比，同时也与己方部队在该防区内的数量成正比。这时，可用下列微分方程组来描述双方战斗单位数量随时间的变化：(t)、n(t)的含义同平方律。经简单推导可知交战过程中双方兵力符合下列状态方程：

式中M、N 的意义同平方律。交战双方不分胜负的条件为，如果,则蓝方将首先被消灭。兰彻斯特将上述关系概括为“在向面目标间接瞄准射击的条件下，交战一方的有效战斗力正比于其战斗单位数与该方每一战斗单位的平均战斗力的乘积”，并称之为线性律。

冷兵器时代，战斗形式通常是单兵之间一对一地进行格斗，战斗的结局取决于双方的格斗水平，蓝、红双方的平均毁伤率取常数值，分别用α、β表示，交战过程中双方兵力的变化可用下列微分方程组来描述：

式中m(t)、n(t)的含义同平方律。此时交战过程中双方兵力之间符合的状态方程与向面目标进行间瞄射击时的线性律所描述的状态方程完全相同。这种关系可概括为“在兵一对一格斗的条件下，交战一方的有效战斗力正比于其战斗单位数与该方每一战斗单位的平均战斗力的乘积。”这便是描述冷兵器时代战斗的线性律。

为加以区别，有时将描述使用冷兵器战斗的线性律称为“第一线性律”，而将描述使用火器向面目标进行间瞄射击时的线性律称为“第二线性律”。

扩充与推广

现代战斗中所包含的各种复杂因素，远远超出了上述兰彻斯特方程赖以建立的简化了的假设条件。B.O.库普曼等将双方作战单位数作为随机变量，并运用马尔可夫过程理论来描述交战过程中出现的毁伤情况，从而得出随机型兰彻斯特方程。S.J.梯曲曼等从平方律、第二线性律的微分方程组中各取一式，以描述游击战中正规军与游击队毁伤的情况，并由此得出“混合律”。S.邦德等研究了兰彻斯特方程中毁伤率系数与敌对双方的射击状态、武器战术技术性能参数间的关系，从而建立了描述合成军交战并包含部队增援与非战斗毁伤等方面的广义兰彻斯特方程组。H.K.威斯等将战术决策者所采用的策略作为决策参数纳入兰彻斯特方程，并运用最优化理论研究了 “最佳战术决策”等方面的问题。J.H.恩格尔等曾运用历史上一些著名战斗中双方伤亡的数据验证过兰彻斯特方程的正确性。

不同信息条件下的空战效能分析

信息化条件下空战效能，对不同信息条件下的空战效能进行分析，建立了相对应的兰彻斯特方程。在运用兰彻斯特方程分析的过程中，突出了不同信息条件对空战效能的影响，分析结果显示了信息优势是获得空战优势的关键性因素，并评估了信息因素对空战进程的决定性作用。

战斗机超视距空战隐身效能分析

随着军事科技的进步，超视距空战逐步成为了现代与未来空战的主要战斗方式。而隐身技术作为提高战斗机空战能力的主要手段之一，正被各国所关注。基于影响图的兰彻斯特微分方程对战斗机在超视距空战中的隐身效能进行了分析，计算了不同RCS下的战斗机超视距空战交换比，从而分析了战斗机RCS对战场走势的影响。

大区域防空作战效能评估模型

针对大区域防空参战兵力多，体系结构、交战过程复杂的特点，引入作战效能、战斗编组、火力毁伤及任务分配等矩阵，建立了基于兰彻斯特方程的大区域防空作战效能评估模型，包括战斗力指数、战斗编组、毁伤指数、任务分配、指挥控制和作战实力损耗等部分。每个模型的建立均通过设定相应矩阵，分析战斗力指数，得出其计算模型，并以相关抗击率以及安全率表征总体效能指标，较好地解决了对大区域防空作战效能的评估问题。模型简洁，便于理解，易于计算。

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