共形映射

共形映射是复变函数论的一个分支，它从几何的观点来研究复变函数，其通过一个解析函数把一个区域映射到另一个区域进行研究。这个性质可以将一些不规则或者不好用数学公式表达的区域边界映射成规则的或已成熟的区域边界。

基本介绍

数学上，一个共形变换（保角变换）是一个保持角度不变的映射。更正式的说，一个映射 w=f(z)称为在共形(或者保角)，如果它保持穿过的曲线间的定向角度，以及它们的取向也就是说方向。共性变换保持了角度以及无穷小物体的形状，但是不一定保持它们的尺寸。

共形的性质可以用坐标变换的导数矩阵雅可比矩阵的术语来表述。如果变换的雅可比矩阵处处都是一个标量乘以一个旋转矩阵，则变换是共形的。

例：如图1所示，直角网格(顶部)和它在共形映射f下的像(底部)。可看出f把以 90°相交的成对的线映射成仍以 90°相交的成对曲线。

定义

设函数在的邻域内是一一映射的, 在具有保角性和伸缩率不变性, 则称映射在是保形的, 或称在是保形映射. 如果映射在D内的每一点都是保形的, 就称是区域D内的保形映射。

仅具有保角性和伸缩率不变性的映射称为第一类保角映射；而具有伸缩率不变性和保持角度绝对值不变而旋转方向相反的映射称为第二类保角映射。

例：是第二类保角映射。

定理

定理一（黎曼定理）对边界多于一点的任意两个单连通域 D和 G，对任意给定的实数点及，总唯一存在把D一一映射为G的 ,使得，。

定理二（保域性）解析函数（不恒为常数）把区域映射为区域。

定理三（边界对应原理）设区域 D的边界为简单闭曲线C，w=f(z)在上解析，则将C一一映射为区域G的边界 Γ，且保边界方向。

制图

在测绘学中，一个共形变换投影是一个保持除有限点外所有点的角度不变的地图投影。尺寸依赖于地点，但不依赖于方向。

其例子有麦卡托投影和极射投影。

复分析

共形映射很重要的一组例子来自复分析。若U是一个复平面C的开集，则一个函数

f : U → C是共形的，当且仅当它在U上是一个全纯函数，而且它的导数处处非零。若f是一个反全纯函数（也就是全纯函数的复共轭），它也保持角度，但是它会将定向反转。

黎曼映射定理是复分析最深刻的定理之一，它表明任何C的单连通非空开子集上有一个到C中的开单位圆盘的双射。

应用

共形映射是复变函数论的一个分支，它从几何的观点来研究复变函数，其通过一个解析函数把一个区域映射到另一个区域进行研究。这个性质可以将一些不规则或者不好用数学公式表达的区域边界映射成规则的或已成熟的区域边界。共形映射的方法，解决了动力学，弹性理论，静电场与磁场等方面许多实际问题，应用很广。

共形映射在数据拟合效果评价中的应用

共形映射可以将数据间很小的差异放大，使得图件直观性更好。映射后，拟合曲线将变成一个圆周，数据点也以一定的幅角分布在复数坐标上，能够快速地判断数据点位于哪两个圆周形成的圆环范围内; 经逆映射后，可以快速地找到实测数据点的上下限曲线方程。

此外，共形映射最大的不足，就是需要事先基于拟合方程构造映射解析函数，这也是通过共形映射来评价数据拟合效果的前提条件之一。