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双射

数学术语

既是单射又是满射的映射称为双射，亦称“一一映射”。

简介
设f是从集合A到集合B的映射，若f(A)=B，即B中任一元素b都是A中某元素的像，则称f为A到B上的满射；
若对A中任意两个不同元素a1不等于a2，它们的像f1不等于f2，则称f为A到B的单射；
若映射f既是单射，又是满射，则称映射f为A到B的“双射”(或“一一映射”)。 函数为双射当且仅当每个可能的像有且仅有一个变量与之对应。
函数f: A → B为双射当且仅当对任意b∈B存在唯一a∈A满足f(a) = b。
函数f : A → B为双射当且仅当其可逆，即，存在函数g: B → A满足g o f = A上的恒等函数，且f o g为B上的恒等函数。
两个双射的复合也是双射。如g o f为双射，则仅能得出f为单射且g为满射。
同一集合上的双射构成一个对称群。
如果X,Y皆为实数集R，则双射函数f:R→R可以被视觉化为两根任意的水平直线只相交正好一次。（这是水平线测试的一个特例。）
定义
在集合论中，一个由集合X至集合Y的映射称为双射的，若对集合Y内的任意元素y，存在唯一一个集合X内的元素x，使得 y = f(x)。
换句话说，f为双射的若其为两集合间的一对一对应，亦即同时单射且满射。
例如，由整数集合至的函数succ，其将每一个整数x连结至整数succ(x)=x+1，及另一函数sumdif，其将每一对实数(x,y)连结至sumdif(x,y) = (x + y, x − y)。
一双射函数亦称为置换。后者一般较常使用在X=Y时。以由X至Y的所有双射组成的集合标记为XY.
双射函数在许多数学领域扮演着很基本的角色，如在同构(和如同胚和微分同构等相关概念)、置换群、投影映射及许多其他概念的基本上。
举例
假设存在关于x的函数:y=2x+3，对于任何x∈R及y∈R，由于y是x的线性函数，因此对于任何x都有唯一确定的y与其对应。又通过整理可以得到x=(y-3)/2，因此对于任何y，也有唯一确定的x与其对应。这样，在y=2x+3在x∈R、y∈R的域中就是一个双射函数。
而对于函数y=x2+2，对于x∈R、y∈R的取值范围内，对于任何x，都有唯一确定的y与其对应。但对于
y≠2，任何y都对应2个不同的x。这样y=x^+2在x∈R、y∈R的取值范围内，不是双射函数。但对于x∈[0,+∞）、y∈[2,+∞)。对于任何x，都有唯一确定的y与之对应，而对于任何y，都有x=(y-2)^0.5，即唯一确定的x与之对应。因此它是一个双射函数。
应用
双射的原理是一组关系，在判别某一种想法在应用能否双向的找到某一唯一对应的事物，理论上通常要判断这种想法是否满足双射的关系。因为具体的实施这一想法的途径我们是并不知道的，所以需要抽象出他们的关系，找到这个双射，如果找不到，并且验证这个双射不存在，那么想法是不可能实现的。
性质
（1）一由实数R至R的函数f是双射的当且仅当其图像和任一水平线相交且只相交于一点。
（2）设X为一集合，则由X至其本身的双射函数，加上其复合函数(0)的运算，会形成一个群，一个X的对称群，其标记为S(X)、SX或X!。
（3）取一定义域的子集A及一陪域的子集B，则|f(A)| = |A| 且 。
（4）若X和Y为具相同势的有限集合，且f: X → Y，则下列三种说法是等价的：
f 为一双射函数；
f 为一满射函数；
f 为一单射函数。
双射与势
若 X和 Y为有限集合，则其存在一两集合的双射函数当且仅当两个集合有相同的元素个数。确实，在公理集合论里，这正是“相同元素个数”的定义，且广义化至无限集合，并导致了基数的概念，用以分辨无限集合的不同大小。
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