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三角形内心

数学术语

三角形内心指三个内角的三条角平分线相交于一点，这个点叫做三角形的内心。这个点也是这个三角形内切圆的圆心。三角形内心到三角形三条边的距离相等。

共点证明
证明：如图1所示
作∠B、∠C的角平分线于AC、AB交于F、D
CD与BF交于I，连接AI交BC并延长至E
由塞瓦定理有：
∵BF、CD为角平分线
∴由角平分线定理有：
由角平分线定理的逆定理有AE为∠A的角分线
证毕
内心性质
设△ABC的内切圆为☉I(r)，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，p=(a+b+c)/2
1、三角形的内心到三边的距离相等，都等于内切圆半径r
2、∠BIC=90°+∠BAC/2
3、在RtΔABC中,∠A=90°,三角形内切圆切BC于D，则S△ABC=1/2xBD×CD
4、点O是平面ABC上任意一点，点I是△ABC内心的充要条件是：
向量OI=[a(向量OA)+b(向量OB)+c(向量OC)]/(a+b+c)．
5、在△ABC中，内心的坐标是：
6、(欧拉定理)△ABC中，R和r分别为外接圆为和内切圆的半径，外心和内心的距离为d，则d2=R^2-2Rr
7、△ABC中：a,b,c分别为三边，S为三角形面积，则内切圆半径r=2S/(a+b+c)
8、双曲线上任一支上一点与两焦点组成的三角形的内心在实轴的射影为对应支的顶点。
9、△ABC中，内切圆分别与AB，BC，CA相切于P，Q，R，
则AP=AR=(b+c-a)/2， BP =BQ =(a+c-b)/2, CR =CQ =(b+a-c)/2,
r=[(b+c-a)tan(A/2)]/2。
10、三角形内角平分线定理：△ABC中，I为内心，∠BAC 、∠ABC、 ∠ACB的内角平分线分别交BC、AC、AB于A'、B'、C',则BA'/CA'=AB/AC,AB'/CB'=BA/BC,AC'/BC'=CA/CB.
内心做法
1.做出△ABC的两个内角的平分线，交于一点，该点即为三角形内心。
2.做出△ABC的外接圆O，过圆心O分别作AC、BC（任意两边）的垂线，两条垂线与圆O交于E、F，连接AF、BE交于点I，则点I即为内心。
内切圆的半径
（1）在RtΔABC中，∠C=90°，r=(a+b-c)/2．
（2）在RtΔABC中，∠C=90°，r=ab/(a+b+c)
（3）任意△ABC中r=（2*S△ABC）/C△ABC （C为周长）
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