几何基础

希尔伯特的《几何基础》把几何学引进了一个更抽象的公理化系统，把几何重新定义，不但把传统的欧几里得的《几何原本》改良，更把几何学从一种具体的特定模型上升为抽象的普遍理论。

简介

欧几里得的《几何原本》为几何学奠下了基础，但随著数学不断的发展，数学家对《几何原本》再严谨审视下，便发现当中不完备之处，例如：「点是没有部分的」中，什么叫「部分」？「直线是它上面的点一样的平放着的线」中，什么叫「平放」？当然还有最受争议的第五公设（平行公设）。这些问题困扰着数学家多年，他们希望可将《几何原本》的定义、公设和公理加以改善，但因为几何学有坚实的基础，且有不少互相关联的分支，如：双曲几何、球面几何、射影几何等等，更使数学家不可只关心个别的公理或定义，而必须提供一整套关于概念和公理、定理的严密的系统，那是一件极艰巨的工作。

几何基础的起源

虽然如此，但也有不少的数学家作出了贡献，当中希尔伯特所著的《几何基础》（Grundlagen der Geometrie）便是集大成之作。《几何基础》的第一版於1899年出版，后来经多次的修改，目前一般引用1930年出版的第七版。希尔伯特在这书中对欧几里得几何及有关几何的公理系统进行了深入的研究。他不仅对欧几里得几何提供了完善的公理体系，还给出证明一个公理对别的公理的独立性以及一个公理体系确实为完备的普遍原则。

他把几何进一步公理化，首先他叙述一些不加定义基本概念，设想有三组不同的东西，分别叫点、直线和平面，统称为「几何元素」，而它们之间的关系须满足一定的公理要求，则称这些几何元素的集合为「几何空间」。这样，不同的几何便是满足不同公理要求的几何元素的集合，亦因此把几何里那些与感性的感觉有关的东西去掉，只保留抽象的逻辑骨架，不但不会丧失现实的基础，反而扩大了几何命题的范围。

该书于1899年由莱比锡—斯图加特托布纳出版社出版。后来进行多次修改再版，于1930年出版第7版。作者去世以后，又出过第8、9、10版。俄译本1948年出版，格拉德斯坦译。中译本1958年出版，江泽涵等译。

本书共7章，中译本约20万字，内有5类公理(关联公理、次序公理、全合公理、平行公理、连续公理);公理的相容性和互相独立性;比例论;平面中的面积论;德沙格定理;巴斯格尔定理;根据公理Ⅰ—Ⅳ的几何作图等7章内容。全书成功地建立了欧几里德几何的完整的公理体系(即希尔伯特公理体系)，把几何的基本对象叫做点、直线、平面，然后用5组公理确定了基本几何对象的性质，并且逻辑地推出了欧几里德几何的所有定理，使欧几里德几何成为一个逻辑结构非常完善而严谨的几何体系。本书成功地建立了希尔伯特公理体系，不仅使欧几里德几何的完善工作告一段落，而且使数学公理法基本形成，促使20世纪整个数学有了较大的发展。

几何基础的主要体系

欧几里得几何可以化为下列的五组共二十条公理的体系：

第一组接合公理共八条，说明三组几何对象点、直线和平面之间的一种接合的关系。

第二组顺序公理共四条，说明直线上的点的相互关系。

第三组合同公理共五条，主要为处理图形的移动而引进的。

第四组连续公理共两条，说明直线的连续关系。

第五组平行公理只有一条，说明两直线间的平行关系。

而这五组的公理也满足了公理体系的三个基本要求，即相容性、独立性和完备性。如果把这五组的公理稍作增减，便得出其他不同的几何空间，例如把平行公理中的欧几里得平行公理换为罗巴切夫斯基平行公理，那便把「欧几里得空间」换为「罗巴切夫斯基空间」。另外，满足前四组公理的几何，我们称之为「绝对几何」（Absolute Geometry）。

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