分数量子霍尔效应

物理学概念

分数量子霍尔效应是过去二十年中，凝聚态物理研究里最重要的成就之一。要解释这个效应，需要用上许多量子物理中最微妙的概念。 1998年的诺贝尔物理奖，由美国普林斯顿大学的崔琦、哥伦比亚大学的霍斯特·路德维希·施特默及斯坦福大学的罗伯特·劳克林三人获得。得奖理由是“他们发现了一种新形态的量子流体，其中有带分数电荷的激发态”。

简介

在他们三位的新发现之前，物理学者认为除了夸克一类的粒子之外，宇宙中的基本粒子所带的电荷皆为一个电子所带的电荷-e（e=1.6×10-19库伦）的整数倍。而夸克依其类别可带有±1e/3或±2e/3电荷。夸克在一般状况下，只能存在于原子核中，它们不像电子可以自由流动。所以物理学者并不期待在普通凝聚态系统中，可以看到如夸克般带有分数电子电荷的粒子或激发态。

这个想法在1982年崔琦和施特默在二维电子系统中，发现分数量子霍尔效应后受到挑战。一年后劳克林提出一新颖的理论，认为二维电子气系统在强磁场下由于电子之间的电力库仑相互作用，可以形成一种不可压缩的量子液体（incompressible quantum fluid），会展现出分数电荷。分数电荷的出现可说是非常神秘，而且出人意表，其实却可以从已知的量子规则中推导出来。

劳克林还曾想利用他的理论，解释夸克为什么会带分数电子电荷，虽然这样的想法还没有成功。劳克林的理论出现后，马上被其他理论物理学家判定是正确的想法。不过对很多人而言，他的理论仍很难懂。在那之后五、六年间，许多重要的论文陆续出现，把劳克林理论中较隐晦的观念阐释得更清楚，也进一步推广他的理论到许多不同的物理状况，使整个理论更为完备。以下扼要说明什么是分数量子霍尔效应，以及其理论解释。

霍尔电导系数

我们研究的对象是二维电子气。假设电子仅能活动于x-y平面上，而在z轴方向有一均匀外加磁场B。霍尔效应就是当x轴方向有电流I时，在y轴方向就会有电位差VH。

我们测量I和VH就可以得到霍尔电导系数RH，

EH是y轴方向的电场强度，J是电流密度。让我们先从古典电磁学的角度来看RH是什么。

当电子以速度v在负x轴方向前进，它会受到沿着负y轴方向的洛伦兹力，大小为evB/c，也会受到y轴方向的电力eEH。这两个力必须相等，电子才能毫不偏移地在x轴上移动。

所以在古典理论中，我们会预期所测量到的RH与磁场B成正比的关系。但崔琦和施特默所量到的RH。我们看到RH和B并不是单纯的正比关系，而是当RH上升至一些特殊的磁场附近（如箭头所指）时会保持不变，我们可以看到出现如平台般的区域。然后RH再上升至下一个平台，仿佛二维电子系统在那些特定的磁场附近有特别的稳定性。在RH处于平台的同时，平行于电流方的电位差V却降落为零，意思是这时的二维电子进入某种超流状态，所以电流I不需要由电位差V来推动。

量子霍尔效应

仔细看实验数据会发觉，在平台上RH的值是h/e2（其中h是普朗克常数）乘上1/ν。ν可以是1,2,3…等整数，或是1/3,2/3,2/5,……等分数。当ν是整数时，我们称它为整数量子霍尔效应；当ν是分数时，我们称它为分数量子霍尔效应。

为什么说它是“量子”效应呢？因为普朗克常数出现了。这从经典公式是看不出来的。其实整数量子霍尔效应，是德国物理学者冯·克利青（von Klitzing）在1980年发现的，他也因此在1985年获得诺贝尔物理学奖。崔琦和施特默更进一步在高磁场和更低的温度条件，发现分数量子霍尔效应。接下来将简单介绍怎么从量子力学观点来看霍尔效应，并且解释ν的意义。

在量子力学中，电子被视为是波，它的运动遵循薛定谔方程，要了解电子行为就要解薛定谔方程式。当电子数目很大，而且电子间的强相互作用不可忽略时，对薛定谔方程式我们几乎是不可能得到完整而精确的解。劳克林的贡献在于他能写出一个波函数，把二维电子系统的重要物理性质表达出来。要了解这理论，得先知道如果忽略电子间的库仑相互作用，单一电子在磁场作用下的行为。这个问题已被著名俄国物理学者朗道（Lev Landau）在1930年解决了。他发现二维电子只能处于一些电子态上，其中i和n是标示量子态的量子数。

量子态具有能量En。这En就被称为朗道能级。重要的是E与量子数i无关，亦即有许多不同的量子态具有相同的能量，也就是简并态（degenerate states）的出现。究竟有多少个不同的量子态位于同一能级上呢？从朗道的解答我们可以算出共有Nd个，而且可看出即使在不同能级，其简并态数目皆相同，

这里A是电子在二维平面上活动区域的面积，所以BA为磁通量。ψ0定义为，是一个磁通量子（flux quantum）的单位。约略地讲，一个磁通量子就对应到一个量子态。前面出现过的参数其定义为

其中Ne为电子个数。例如当ν=1时，电子个数就与最低能级的简并态数目相同。

因为电子是费米子，两个电子不能落在同一个量子态上，因此Ne个电子就需要Ne个量子态，所以ν=1时刚好Ne个电子占满了最低朗道能级。如果ν=1/3则电子个数只是Nd电子。从参数ν的物理意义可以知道为什么人们又称呼它为填充因子（filling factor）。ν=1代表电子完全填满最低能级，ν=1/3代表最低能级上仅有三分之一的量子态被电子填占了。接下来我们计算当系统的填充因子为ν时，RH会有多大？

我们可以理解为何ν=1，（或ν=2,3,…）时系统会有“稳定性”：

因为电子完全填满最低能级（或最低2,3…个能级）。（其实要完全解释平台的存在，我们得到考虑杂质的效应，但那不是本文要讨论的范围。）然而在ν=1/3时，电子行为又有何特殊之处呢？在解释之前要先说明一个新奇的概念：任意子（anyon）。我们知道在微观世界里，粒子分为费米子（fermion）和玻色子（boson）。以两个粒子的情形为例，若描述这两个粒子量子状态的波函数为，亦即发现粒子位于与的机率振幅。

当粒子为费米子时，θ= ±π,±3π，……，

当粒子为玻色子时，θ=0, ±2π,±4π,……。

所以对费米子而言，表示两个费米子不可能处在同一个点（量子状态）上。但以上的分类仅适用于三维空间的状况。若粒子仅能在二维平面上行动，则可以是任意实数，并不受限于θ=0, ±π,±2π, ……。这一类既非费米子又非玻色子的粒子叫做任意子。最早提出这个概念的是两位挪威学者莱纳思（J. M. Leinaas）与麦汉（J. Myrheim）。后来美国学者威切克（F. Wilczek）用以下的方式来阐明任意子。

想像一个带电粒子随伴有一个（理想上）半径为零的磁通量束（magnetic flux tube），假设其电荷为e，磁通量为φ。两个这样的粒子如果交换位置。

我们可将第二个粒子固定于，将第一个粒子从绕过第二个粒子至，然后再向左平移使移至，同时移至。我们可以用量子力学计算这个过程的机率振幅，发现粒子带磁通量束会比不带时的振幅多一个相位因子（phase factor）。

这多出来的相位因子基本上是由于第一个粒子的电荷受第二个粒子的磁通量束的影响而来，这纯粹是量子效应。

在古典物理中，第一个粒子所经过的路途上并没有磁场，所以第一个粒子不会受第二个粒子磁通量束的影响。这个奇特的量子效应是阿哈若诺夫（Y. Aharonov）与波姆（D. Bohm）在1959年发现的，所以这个因子称为A-B相位因子。

由于A-B相位的存在，玻色子摇身一变成了费米子了！〔严格地说，对任意子来说，波函数不是一个好的概念。细心的读者可能已经发现如果以逆时针方向绕过则A-B相位因子eiθ会变成e-iθ。也就是说，波函数会依粒子运动的过程而异，所以和一般波涵数意义不同。费曼（R. P. Feynman）的路径积分（pathintegral）在这里是比较好的表达语言。〕因为电子是费米子，所以我们可以将它想像成一种玻色子（称为玻色电子），其所带电荷与电子相同，且随伴着2n+1个磁通量子。

统计磁场

强调此处磁通量子中的磁场不同于实际上穿透实验系统的均匀磁场B。这个改变粒子统计行为（将费米子转变成玻色子或其它任意子）的磁场，我们可以称为统计磁场或虚拟磁场。其实统计磁场的情形并不必然要朝着正z轴方向；它也可以指向负z轴方向，而仍然有将电子转成玻色电子的功能。

我们可以回来看填充因子ν=1/3的电子系统。这时玻色电子会同时感受到外加磁场B与统计磁场的作用。如果选择统计磁场指向负z轴方向，则平均起来外加磁场B与统计磁场会相互抵消：因为由（7）式可知ν=1/3时，一个电子“分配”有三个外加磁场B的磁通量子，其大小恰好与三个统计磁通量子相等；所以玻色电子会认为它并未受到磁场作用。以下说明ν=1/3的情况。没有受磁场作用时，玻色电子会经由波思－爱因斯坦聚合（Bose-Einstein condensation）效应而凝聚在一起成为超流态，这就说明了ν=1/3的稳定性。至于在其它平台的填充因子

ν=1/5,2/3,2/5,3/5,1/7,……

等也可以用玻色电子的观点去理解。

电子间的相互作用是非常重要的，因为相互排斥的关系，电子喜欢散开而不会靠拢聚集在一起，所以随着电子移动的统计磁场才能够均匀地抵消外加磁场。换言之，由于库伦排斥力，二维电子形成一种新形态的不可压缩流体，上述的想法也才可能实现。

其实劳克林最初并不是以玻色电子的想法去解释实验数据，而是针对ν=1/3态猜出一个先前提过的二维电子基态波函数，并算出此波函数所对应的电子密度恰好就是ν=1/3态的电子密度。他也证明在电子数目不大时，此波函数与数值解非常接近，几乎一致。他的波函数经调整参数后也可适用于ν=1/5,1/7,……态。

最早把劳克林波函数和玻色电子想法联接起来的是美国物理学者葛文（S. Girvin）与麦克当诺（A. H. MacDonald）。劳克林还进一步写下ν=1/3的激发态波函数，指出其中（准）粒子的电荷为±1/3e。大致上，我们可以这样看：因为当ν=1/3时，每一个电子配有三个磁通量子，如果系统中多出一个磁通量子束没有与电子相配，则相对于均匀的电荷分布而言，此磁通量子束就好像带有1/3的电子电荷。要仔细讲其中的道理还需要更多的数学，笔者在这里就不多说了。

量子霍尔效应是过去二十年间凝聚态物理研究最重要的进展之一，在实验与理论方面都有令人惊讶的发现与创见。所以诺贝尔奖再度表彰这一领域多年来的成就，是十分恰当的。

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