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分段函数

数学术语

分段函数，就是对于自变量x的不同的取值范围有不同的解析式的函数。它是一个函数，而不是几个函数；分段函数的定义域是各段函数定义域的并集，值域也是各段函数值域的并集。

函数类型
1、分界点左右的数学表达式一样，但单独定义分界点处的函数值（例1）
2、分界点左右的数学表达式不一样（例2）
例子
例一
某商场举办有奖购物活动，每购100元商品得到一张奖券，每1000张奖券为一组，编号为1号至1000号，其中只有一张中特等奖，特等奖金额5000元，开奖时，中特等奖号码为328号，那么，一张奖券所得特等奖金y元与号码x号的函数关系表示为：
0 ,x≠328
y={ 5000, x=328}
例二
某商店卖西瓜，一个西瓜的重量若在4kg以下（包括4kg），则销售价格为0.6元/kg；若在4kg 以上，则销售价格为0.8元/kg，那么，一个西瓜的销售收入y元与重量xkg的函数关系表示为，0
分段函数题型
由于分段函数概念过广课本无法用文字明确给出分段函数的定义，故以更的实际例题的形式出现。但不少理解能力较弱的学生仍对它认识肤浅模糊，以致学生解题常常出错。本段介绍分段函数的若干种题型及其解法，以供大家参考。
作图题
例1作出函数的图像。
分析：(根据北师大版32页例题2)
函数去绝对值符号后就变为分段函数
f(x)=|x+1|+|x-1| =
这个分段函数有三段，所以这个函数的图像应由三条线组成，其中两边各是一条射线，中间是一条线段。
分段函数作图题的一般解法:分段函数有几段它的图像就由几条曲线组成,作图的关键就是根据每段函数的定义区间和表达式在同一坐标系中作出其图像，作图时要注意每段曲线端点的虚实，而且横坐标相同之处不可有两个以上的点。
求函数值
例2　已知函数f(x)= 求f(3)的值。
解：由3∈（－∞，6），知f(3)=f(3+2)=f(5),
又5∈（－∞，6）,所以f(5)=f(5+2)=f(7).
又由7∈[6，+∞）所以f(7)=7－2=5，因此，f(3)=5。
求分段函数的函数值的方法：先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后按该段的表达式去求值，直到求出值为止。
求函数值域
例3　求函数f(x)= 的值域。
解：当-2≤x≤a时，x2 的取值有三种情形：
（1）当-2≤a<0时,有a2≤x2≤4 ；
(2)当0≤a≤2时,有0≤x2≤4 ；
(3)当a>2时,有0≤x2≤a2
当x>a时，-|x|的取值有两种情形：
（1）当-2≤a<0时，有-|x|≤0,
（2）当a≥0时，有－|x|<-a 。
所以原函数的值域为：
（1）当-2≤a<0时,为(-∞,0]∪[a2,4] ；
（2）当0≤a≤2时,为(-∞,-a)∪[0,4]；
（3）当a>2时,为(-∞,-a)∪[0,a2]
求分段函数的值域的方法：分别求出各段函数在其定义区间的值域，再取它们的并集即可。
函数的奇偶性
例4 判断下列函数的奇偶性
（1）f(x)= （2）f(x)=
解：（1）∵当x>0时，-x<0, f(x)=ex ,f(-x)=-e-(-x) =-ex ,
即有f(x)=-f(-x),同理，当x<0时，也有f(x)=-f(-x)
∴函数f（x）是奇函数。
(2)∵当x=0时，f(0)=f(-0)=0 ,
当x>0时，-x<0,f(x)=x(1-x) ,f(-x)=-(-x)[1+(-x)]=x(1-x) ,
即有f(x)=f(-x),同理，当x<0时，也有f(x)=f(-x).
∴函数f（x）是偶函数。
判断分段函数的奇偶性的方法：先看定义域是否关于原点对称，不对称就不是奇（偶）函数，再由x>0,-x<0 ,分别代入各段函数式计算f(x)与f(-x)的值，若有f(x)=-f(-x),当x=0有定义时f(0)=0，则f(x)是奇函数；若有f(x)=f(-x)，则f(x)是偶函数。
函数的单调性
例5 讨论函数f(x)= 的单调性。
解：当x≥0时，f(x)=-x2+4x-10 ,它是开口向下，对称轴为x=2的抛物线的一部分，因此f(x)在区间[0，2]上是增加的，在区间(2,+∞)上是减少的；当x<0时，f(x)=-x2-4x-10 ，它是开口向下，对称轴为x=-2的抛物线的一部分，因此f(x)在区间[-2，0）上是减少的，在区间(-∞,-2)上是增加的。
分段函数的单调性的判断方法：分别判断出各段函数在其定义区间的单调性即可。
求函数的最小正周期
求分段函数的最小正周期的方法有：定义法、公式法和作图法。
例6 求函数f(x)= 的最小正周期。
定义法：当x=2kπ或2kπ+π时，sin(2kπ+π)=sin2kπ=0
当2kπ-π
f(x)=-sinx ,f(x+π)=sin(x+π)=-sinx ,
即有f(x+π)=f(x) ，同理可证：当2kπ
有f(x+π)=f(x) ，所以f(x) 的最小正周期是π。
公式法：∵（2kπ-π，2kπ）∪[2kπ，2kπ+π]=R ， （k∈z）
x∈（2kπ-π，2kπ）,sinx <0 ,x∈[2kπ，2kπ+π],sinx ≥0 .
∴f(x)=|sinx|= =
所以f(x) 的最小正周期T= =π
作图法:作出函数f(x)的图像如图2
所示。
由图2知f(x) 的最小正周期是π。 图2
求函数的最大（小）值
求函数的最大（小）值的方法有：
数形结合法、分析综合法。
例7 求函数f(x)= 的最大和最小值。
解：∵函数f(x)=log2 x 在[1,8]是增加的，最大值是f(8)=3,
最小值是f(1)=0。又∵函数f(x)=x+2 在[-8,1)是增加的，最小值是f(-8)=-6且f(x)<3。
∴综上，得函数f(x) 的最大值是3 ，最小值是-6。
求某条件下自变量的范围
例8 函数f(x)=
若f(x0)<-3则x0取值范围是______.
解：（1）当x0≤-2时，f(x)=x0<-3 ， 此时不等式的解集是
（-∞，-3） ；
（2）当-2
（3）当x0≥4时，f(x0)=3x0 <-3 ， 此时不等式的解集是 .
所以则x0的取值范围是（-∞，-3）。
求某条件下自变量的范围的方法：先假设所求的解在分段函数定义域的各段上，然后相应求出在各段定义域上的范围，再求它们并集即可。
求自变量的值
例9 已知函数f(x)= ,若f(a)=2 ,则实数a的值是______.
解：（1）当a≤-3时，f(a)=3a =2 ,3a ≤3= ，此时方程无解；
（2）当-3
（3）当a≥4时，f(a)= =2 ,解得 a=4 ,
∴实数a的值是a=-2 或a=4 。
求某条件下自变量的值的方法：先假设所求的解在分段函数定义域的各段上，然后相应求出在各段定义域上的解，再求它们的并集即可。
求函数的表达式
例10 求二次函数f(x)=x2-2(2a-1)x+5a2-4a+2在[0，1]上的最小值g(a)的解析式。
解：二次函数f(x)=x2-2(2a-1)x+5a2-4a+2=[x-(2a-1)]2+a2+1
图像开口向上，对称轴是x=2a-1 .
(1)若2a-1<0即a< 时，如图10-1所示
二次函数f(x)在[0，1]上的最小值是
g(a)=f(0)=5a2-4a+2 ；
（2）若0≤2a-1<1即 ≤a<1时,如图10-2所示
二次函数f(x)在[0，1]上的最小值是
g(a)=f(2a-1)=a2+1；
（3）若2a-1≥1即a≥1时,如图10-3所示
二次函数f(x)在[0，1]上的最小值是
g(a)=f(1)=1-2(2a-1)+5a2-4a+2
=5a2-8a+5 .
综上所述，二次函数f(x)在[0，1]上的最小值是
g(a)=
求分段函数的表达式的常用方法有：待定系数法、数形结合法和公式法等。本题采用数形结合法。
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