列秩

数学术语

在线性代数中，一个矩阵A的列秩是A的线性独立的纵列的极大数目。类似地，行秩是A的线性独立的横行的极大数目。

行秩列秩相等

矩阵的行秩与列秩相等，是线性代数基本定理的重要组成部分. 其基本证明思路是，矩阵可以看作线性映射的变换矩阵，列秩为像空间的维度，行秩为非零原像空间的维度，因此列秩与行秩相等，即像空间的维度与非零原像空间的维度相等（这里的非零原像空间是指约去了零空间后的商空间：原像空间）。这从矩阵的奇异值分解就可以看出来。

给出这一结果的两种证明. 第一个证明是简短的，仅用到向量的线性组合的基本性质. 第二个证明利用了正交性. 第一个证明利用了列空间的基, 第二个证明利用了行向量空间的基. 第一个证明适用于定义在标量域上的矩阵，第二个证明适用于内积空间。二者都适用于实或复的欧氏空间，也都易于修改去证明当A是线性变换的情形。

证明一

令A是一个的矩阵，其列秩为 r。因此矩阵A的列空间的维度是r。令是A的列空间的一组基，构成矩阵C的列向量，并使得A的每个列向量是C的r个列向量的线性组合. 由矩阵乘法的定义，存在一个矩阵R，使得 A=CR。(A的(i,j)元素是与 R的第 j个列向量的点积。)

由于A=CR,A的每个行向量是R的行向量的线性组合，这意味着A的行向量空间被包含于R的行向量空间之中. 因此A的行秩 ≤R的行秩. 但R仅有r行, 所以R的行秩 ≤r=A的列秩. 这就证明了A的行秩 ≤A的列秩.

把上述证明过程中的“行”与“列”交换，利用对偶性质同样可证A的列秩 ≤ A的行秩。更简单的方法是考虑 A的转置矩阵，则A的列秩 =的行秩 ≤的列秩 = A的行秩. 这证明了A的列秩等于A的行秩，证毕。

证明二

令A是一个m×n矩阵. 定义rk(A)为A的列秩，A为A的共轭转置或称施密特转置. 首先可知AAx= 0当且仅当Ax= 0.

其中‖·‖是欧氏范数。这说明A的零空间与AA的零空间相同。由秩－零化度定理，可得rk(A) = rk(AA)。AA的每一个列向量是A的列向量的线性组合。所以AA的列空间是A的列空间的子空间，从而rk(AA) ≤ rk(A)。即: rk(A) = rk(AA) ≤ rk(A)。应用这一结果于A可或得不等式: since (A)=A，可写作rk(A) ≤ rk((A)) = rk(A)，这证明了rk(A) = rk(A)，证毕。

可替代定义

向量组的秩

向量组的秩：在一个m维线性空间E中，一个向量组的秩表示的是其生成的子空间的维度。考虑m×n矩阵，将A的秩定义为向量组F的秩，则可以看到如此定义的A的秩就是矩阵A的线性无关列向量的极大数目，即A的列空间的维度（列空间是由A的纵列生成的F的子空间）。因为列秩和行秩是相等的，我们也可以定义A的秩为A的行空间的维度。

线性映射

考虑线性映射：

对于每个矩阵A，都是一个线性映射，同时，对每个的线性映射f，都存在矩阵A使得。也就是说，映射

是一个同构映射。所以一个矩阵A的秩还可定义为的像的维度（像与核的讨论参见线性映射）。矩阵A称为的变换矩阵。这个定义的好处是适用于任何线性映射而不需要指定矩阵，因为每个线性映射有且仅有一个矩阵与其对应。秩还可以定义为n减f的核的维度；秩-零化度定理声称它等于f的像的维度。

性质

我们假定A是在域F上的m×n矩阵并描述了上述线性映射。

这里的Ir指示r×r单位矩阵。

计算

计算矩阵A的秩的最容易的方式是高斯消去法，即利用矩阵的初等变换生成一个行阶梯形矩阵，由于矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，因此A的行梯阵形式有同A一样的秩。经过初等变换的矩阵的非零行的数目就是原矩阵的秩。

例如考虑4 × 4矩阵

我们看到第2纵列是第1纵列的两倍，而第4纵列等于第1和第3纵列的总和。第1和第3纵列是线性无关的，所以A的秩是2。这可以用高斯算法验证。它生成下列A的行梯阵形式:

它有两个非零的横行。

在应用在计算机上的浮点数的时候，基本高斯消去（LU分解）可能是不稳定的，应当使用秩启示（revealing）分解。一个有效的替代者是奇异值分解（SVD），但还有更少代价的选择，比如有支点（pivoting）的QR分解，它也比高斯消去在数值上更强壮。秩的数值判定要求对一个值比如来自SVD的一个奇异值是否为零的依据，实际选择依赖于矩阵和应用二者。

应用

计算矩阵的秩的一个有用应用是计算线性方程组解的数目。如果系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，则方程组只要有一个解。在这种情况下，它有精确的一个解，如果它的秩等于方程的数目。如果增广矩阵的秩大于系数矩阵的秩，则通解有k个自由参量，这里的k是在方程的数目和秩的差。否则方程组是不一致的。

在控制论中，矩阵的秩可以用来确定线性系统是否为可控制的，或可观察的。

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