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初等变换

数学术语

初等变换（elementary transformation）是三种基本的变换，出现在《高等代数》中。初等变换包括：线性方程组的初等变换、行列式的初等变换和矩阵的初等变换，这三者在本质上是一样的。

初等变换
线性方程组
所谓一般线性方程组，是指形式为：
的方程组，其中，代表n个未知数，s 是方程的个数，称为方程组的系数， 称为常数项。
初等变换
一般采用消元法来解线性方程组，而消元法实际上是反复对方程进行变换，而所做的变换也只是以下三种基本的变换所构成：
（1）用一非零的数乘以某一方程
（2）把一个方程的倍数加到另一个方程
（3）互换两个方程的位置
于是，将变换（1）、（2）、（3）称为线性方程组的初等变换。
矩阵初等变换
矩阵的初等变换又分为矩阵的初等行变换和矩阵的初等列变换。矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换。另外：分块矩阵也可以定义初等变换。
定义：如果B可以由A经过一系列初等变换得到，则称矩阵A与B称为等价
初等行变换
定义：所谓数域P上矩阵的初等行变换是指下列3种变换：
1）以P中一个非零的数乘矩阵的某一行
2）把矩阵的某一行的c倍加到另一行，这里c是P中的任意一个数
3）互换矩阵中两行的位置
一般来说，一个矩阵经过初等行变换后就变成了另一个矩阵，当矩阵A经过初等行变换变成矩阵B时，一般写作
可以证明：任意一个矩阵经过一系列初等行变换总能变成阶梯型矩阵。
初等列变换
同样地，定义初等列变换，即：
1）以P中一个非零的数乘矩阵的某一列
2）把矩阵的某一列的c倍加到另一列，这里c是P中的任意一个数
3）互换矩阵中两列的位置
初等矩阵
定义：由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵。
引理：对一个矩阵A作一初等行变换，就相当于在A的左边乘上相应的的初等矩阵；对A作一初等列变换，就相当于在A的右边乘上相应的的初等矩阵。
行列式初等变换
相关性质
性质1：行列互换（即转置），行列式不变。
性质2：一数乘行列式的一行就相当于这个数乘此行列式
性质3：如果行列式中有两行相同，那么行列式为0，所谓两行相同，即两行对应的元素都相等
性质4：如果行列式中，两行成比例，那么该行列式为0
性质5：把一行的倍数加到另一行，行列式不变
性质6：对换行列式中两行的位置，行列式反号
初等变换
以下为行列式的初等变换：
1）换行变换：交换两行（列）。
2）倍法变换：将行列式的某一行（列）的所有元素同乘以数k。
3）消法变换：把行列式的某一行（列）的所有元素乘以一个数k并加到另一行（列）的对应元素上。
基于行列式的基本性质，对行列式作初等变换，有如下特征：
换法变换的行列式要变号；倍法变换的行列式要变k倍；消法变换的行列式不变。求解行列式的值时可以同时使用初等行变换和初等列变换。
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