力矩分配法

力学术语

用一般的力法或位移法分析超静定结构（见杆系结构的静力分析）时，都要建立和解算线性方程组。如果未知数目较多，计算工作将相当繁重。H.克罗斯于1930年在位移法的基础上，提出了不必解方程组而是逐次逼近的力矩分配法。它在1930年发表在ASCE期刊，该方法仅考虑弯曲效应，忽略轴向和剪切效应。从20世纪30年代到电脑开始广泛应用于结构设计和分析中，力矩分布法是最广泛应用的方法。

简介

以位移法为基础的一种数值渐近方法，是美国H．克罗斯于1932年发表的，主要用于杆系刚结结构(如连续梁和刚架)的受力分析。

设想将结构承载后能产生位移的节点(杆件的连接点)用相应的假想约束固定，在假想约束处就产生不平衡力矩(或力)，然后逐个放松附加约束，消除不平衡力矩(或力)，恢复真实变形状态。若首先放松节点i的附加约束，则i点的不平衡力矩Mi就会使刚结于i点的所有杆件变形，不平衡力矩Mi随即消失，这就是把Mi分配给节点i备杆件的近端，而各杆件远端由于受到i端分配力矩的影响也得到一定的力矩，前者称为分配力矩，后者称为传递力矩。然后再将节点i固定住。在消除同节点i相邻的节点j的不平衡力矩时，节点i得到了节点j端传来的力矩，以此作为i节点新的不平衡力矩，再次放松约束，将不平衡力矩分配给节点i各杆的近端。如此循环进行，直到各点不平衡力矩都趋于零为止。循环中，节点i处第k个杆的分配力矩为Mik=-μikMi，其中分配系数，Kik为第k个杆的弯曲刚度，表示连接于节点i处所有杆的弯曲刚度的总和。第k个杆在i端分配到的力矩对远端(即节点k)的影响就是传递力矩，它等于CikMik，其中Cu称为传递系数，其值为：

循环计算完毕后，将各杆端各次的分配力矩、传递力矩和最初的不平衡力矩(称为固端力矩)相加，即得各杆端的实际力矩值。此法适用于计算连续粱和无侧移刚架。

数学原理

具有四根等截面杆的刚架（图a,图中i代表各杆的线性刚度,i=EI/l,E为材料的弹性模量,I为杆件的截面惯性矩，l为杆长），若在点O作用一外力矩MO,使结点O发生单位转角嗘0=1,则结构的变形如图a虚线所示，相应的弯矩图如图b（转角及弯矩均以顺时针方向为正。习惯上把每一杆件的转动端称为近端,另一端称为远端）。由图可看出，作用于点O的力矩MO将由各杆近端共同承担,并传递到远端。各杆的远端弯矩与近端弯矩之比称为该杆的传递系数C，对于等截面杆,它仅与远端的支承情况有关。各杆的传递系数分别为CO1=1/2,CO2=0，CO3=-1，CO4=0。

根据静力平衡原理,MO应等于各近端弯矩之和，即MO=4i1+3i2+i3，如图c。杆端发生单位转角时的近端弯矩称为该杆的转动刚度Ki，各杆转动刚度之和 ∑Ki称为结点O 的转动刚度。图中任一杆的近端弯矩可表

因子 Ki/∑Ki称为分配系数Di。它表明当点O受到MO作用时，i杆所分配到的力矩与该杆转动刚度Ki对结点O转动刚∑Ki的比值有关。由此可知，点O 受任一确定的外力矩M作用时，任一杆的近端弯矩为MiO=DiM；远端弯矩为MiO=CiMOi=CiDiM。

力矩分配法的基本思路

①固定结点,在结点O上加一刚臂控制转动，分别求出各杆端由荷载产生的固端弯矩，作用于一结点上的各杆固端弯矩的代数和称为不平衡力矩；

②放松结点，取消本不存在的刚臂，让结点转动，将不平衡力矩按各杆的分配系数求得各杆的分配力矩；

③传递力矩，按分配力矩和各杆的传递系数向各杆远端传递，得各传递力矩。循此规则，分配、传递、反复计算，直至得到足够精度的杆端力矩数值为止。

最后，杆端力矩等于固端力矩、分配力矩、传递力矩之和。

对于有侧移刚架，也可以应用由力矩分配法发展出来的方法计算，如无剪力分配法计算单跨刚架、附加剪力平衡方程的力矩分配法等，但其应用范围受到限制或不很方便，所以对于一般有侧移刚架，常采用迭代法。

应用

为了应用力矩分布法分析结构，必须考虑以下几点。

固定最终力矩

固定的最终力矩是当接头固定时通过外部载荷在构件端产生的力矩。