位移法

1826年C.-L.-M.-H.纳维提出的方法

以广义位移（线位移和角位移）为未知量，求解固体力学问题的一种方法。位移法的思想是法国的C.-L.-M.-H.纳维于1826年提出的。

简介

以广义位移（线位移和角位移）为未知量，求解固体力学问题的一种方法。位移法是计算超静定结构的另一种基本的、也是有效的方法。不仅如此，对于静定结构，位移法也是一种计算方法。

计算种类

典型方程法

位移法可按两种思路求解结点位移和杆端弯矩：典型方程法和平衡方程法。下面给出典型方程法的解题思路和解题步骤。

1、位移法典型方程的建立：

欲用位移法求解图a所示结构，先选图b为基本体系。然后，使基本体系发生与原结构相同的结点位移，受相同的荷载，又因原结构中无附加约束，故基本体系的附加约束中的约束反力（矩）必须为零，即：R1=0，R2=0。

而Ri是基本体系在结点位移Z1，Z2和荷载共同作用下产生的第i个附加约束中的反力（矩），按叠加原理Ri也等于各个因素分别作用时（如图c，d，e所示）产生的第i个附加约束中的反力（矩）之和。于是得到位移法典型方程：

注意：

1．位移法方程的物理意义：基本体系在荷载等外因和各结点位移共同作用下产生的附加约束中的反力（矩）等于零。实质上是原结构应满足的平衡条件。

2．位移法典型方程中每一项都是基本体系附加约束中的反力（矩）。其中：RiP表示基本体系在荷载作用下产生的第i个附加约束中的反力（矩）；称为自由项。rijZj表示基本体系在Zj作用下产生的第i个附加约束中的反力（矩）；

3．主系数rii表示基本体系在Zi=1作用下产生的第i个附加约束中的反力（矩）；rii恒大于零；

4．付系数rij表示基本体系在Zj=1作用下产生的第i个附加约束中的反力（矩）；根据反力互等定理有rij=rji，付系数可大于零、等于零或小于零。

5．由于位移法的主要计算过程是建立方程求解方程，而位移法方程是平衡条件，所以位移法校核的重点是平衡条件（刚结点的力矩平衡和截面的投影平衡）。

2、求解步骤：

①确定位移法基本未知量，加入附加约束，取位移法基本体系。

②令附加约束发生与原结构相同的结点位移，根据基本结构在荷载等外因和结点位移共同作用下产生的附加约束中的总反力（矩）=0，列位移法典型方程。

③绘出单位弯矩图、荷载弯矩图，利用平衡条件求系数和自由项。

④解方程，求出结点位移。

⑤用公式叠加最后弯矩图。并校核平衡条件。

⑥根据M图由杆件平衡求Q，绘Q图，再根据Q图由结点投影平衡求N ，绘N图。

直接平衡法

1、截面直杆的转角位移方程

各种因素共同作用下杆端弯矩的表达式称为转角位移方程。

①两端固定梁转角位移方程：

②一端固定一端铰支梁转角位移方程：

③ 一端固定一端定向支承梁转角位移方程：

④已知杆端弯矩，可由杆件的矩平衡方程求出剪力：

其中是相应的简支梁在荷载作用下的杆端剪力；MAB，MBA的正负按位移法规定。

2、直接列平衡方程法：

位移法方程实质上是静力平衡方程。对于结点角位移，相应的是结点的力矩平衡方程；对于结点线位移，相应的是截面的投影平衡方程。用基本体系方法计算时，是借助于基本体系这个工具，以达到分步、分项写出平衡方程的目的。

也可以不用基本体系，直接由转角位移方程，写出各杆件的杆端力表达式，在有结点角位移处，建立结点的力矩平衡方程；在有结点线位移处，建立截面的投影平衡方程。这些方程也就是位移法的基本方程。

3、求解步骤：

1）确定基本未知量；

2）由转角位移方程，写出各杆端力表达式；

3）在由结点角位移处，建立结点的力矩平衡方程，在由结点线位移处，建立截面的剪力平衡方程，得到位移法方程；

4）解方程，求基本未知量；

5) 将已知的结点位移代入各杆端力表达式，得到杆端力；

6）按杆端力作弯矩图。

4、排架计算（剪力分配法）：

1）设Ji为排架柱的侧移刚度系数。Ji是仅使柱顶发生单位侧移时，在柱顶产生的剪力。一端固定一端铰支　的杆的侧移刚度是：Ji=3EI/h3；两端固定杆的侧移刚度是：Ji=12EI/h3。剪力分配系数；

2）当排架仅在柱顶受水平集中力P作用时，柱顶集中荷载P作为各柱的总剪力，按各柱的剪力分配系数μi进行比例分配，求出各柱剪力，再由反弯点开始即可作出弯矩图。

基本原理

位移法的基本原理，是以在小变形的基础的结构体系中，内力是可以叠加的，位移也是可以叠加的。结构中的受力、变形是可以分阶段、分次发生的，分阶段、分次发生的受力、变形是可以线性叠加的，叠加的结果与这些力、变形同时发生的结构所产生的内力、变形是相同的。

基本常数

位移法的计算过程中，基本构件在单位荷载作用下的杆端内力、发生单位杆端变形时的杆端内力是十分重要的。所谓基本构件是指以特定形式支座为边界条件的单跨梁，基本构件是各种梁、刚架的基本构成。根据力法的基本原理，可以计算出这些基本构件发生杆端单位位移或存在特定外部作用的情况下，杆端的内力指标。

这些指标通常称为位移法常数。单位位移作用下产生的杆端力，可用力法求解，得到杆端内力，即形常数；仅由跨中荷载引起单跨超静定梁的杆端内力称为载常数，也叫固端力，载常数也可按力法计算出来。

扩展介绍

　超静定结构分析（见杆系结构的静力分析）的基本方法之一，也称变位法或刚度法，通常以结点位移作为基本未知数。位移法有两种计算方式，一种是应用基本结构列出典型方程进行计算，另一种是直接应用转角位移方程建立原结构上某结点或截面的静力平衡方程进行计算，后者常称为转角位移法。

基本结构

用位移法计算超静定结构时，须先确定基本未知数,即独立的结点角位移和线位移的总数n（如图1a，n=2。但忽略其轴向变形）。然后在这些结点上相应地加上阻止转动的附加刚臂或阻止移动的附加链杆，使结构变成一系列离散部分的集合。这样形成位移法的基本结构（如图1b）。通常各离散部分均为等截面超静定梁。位移法

典型方程

为使基本结构的变形和内力情况与原结构相同，必须使基本结构承受与原结构相同的荷载（包括温度变化、支座沉陷等因素），并使附加约束发生与原结构相同的位移。因为原结构上本无附加约束，所以基本结构上所有附加约束中的约束反力都应等于零。据此建立位移法典型方程：式中系数Knk表示在基本结构中第i个附加约束由于第k个附加约束发生单位位移所引起的反力矩或反力，系数矩阵是对称的；自由项RiP 表示在结构上第i个附加约束由于荷载作用所引起的反力矩或反力；基本未知数xi是第i个结点的角位移或线位移，i=1，2，…，n。

为了求得典型方程中的系数和自由项，须分别绘制基本结构在各附加约束发生单位位移时的Mi图及在荷载作用下的MP图,并利用结点或截面的平衡条件求出各系数和自由项。由于基本结构中各杆通常都是单跨超静定梁，它们在荷载及支座发生各种单位位移情况下的固端弯矩公式都可以先行用力法或其他方法导出，这样的公式称为转角位移方程。如等截面两端固定梁当发生图2所示的位移时，其转角位移方程为式中i=EI/l；ψ=墹/l；E为材料弹性模量；I为截面惯性矩;MF为荷载引起的固端弯矩。对变截面杆也可以导出其转角位移方程并绘制相应的图表备用。位移法

转角位移法

转角位移法不必对基本结构分别作各Mi和MP图,也不单独计算各系数和自由项，而是直接应用转角位移方程，将各杆端弯矩或剪力表示为未知结点位移的函数。然后依次截取各含有待求角位移的结点为隔离体，根据所有汇交于这一结点的各杆近端作用于该结点的弯矩及结点力矩荷载的代数和应等于零，而建立结点平衡方程；再依次作截面，截取各含有待求线位移结点的隔离体，在该线位移方向上列出力的投影的平衡方程，即得截面平衡方程，这样建立起来的平衡方程与典型方程完全相同。

解算典型方程求得各基本未知数xi后，即可按叠加原理或转角位移方程求得结构内力。

举例

用位移法求解结构问题，第一步须列出物体内所有节点的全部广义位移。这些广义位移的总数目称为节点位移自由度（又称节点位移可动度）。例如图中的平面刚架有3个节点：点1完全被约束，没有广义位移；点2有一个转动位移；点3有一个转动位移和一个水平方向的位移。因此该刚架的节点位移自由度为3。第二步是将结构的全部广义位移加以约束，所得到的结构体系称为基本体系。在基本体系的一个节点上解除某个广义位移s的约束，此时如果在某个广义位移r的方向上作用一个广义力Krs，它在s方向上引起的广义位移恰好为一个单位，则Krs称为刚度系数。r为s时Krs称为直接刚度系数；r不为s时称为交叉刚度系数。它们可通过结构分析求出。求出各刚度系数后，把外载荷加到基本体系上，就得到用节点未知广义位移表示的位移法平衡方程组。方程数目恰与未知量数目相等，从而可以通过解方程组求出各节点的实际位移，进而可求得全部内力。

具有三个自由度的刚架

通常，用势能原理来建立位移法平衡方程组，具体作法如下：

为系统的总势能，式中xi（i=1，2，…，n）为节点未知广义位移；Ri为载荷引起的第i个节点处的约束反力；dq为载荷作用点的位移；Kqq为在载荷作用点处产生单位广义位移所需的广义力；m为载荷个数；n为自由度。根据最小势能原理，真实情况下的结构应满足如下条件：

（i=1，2，…，n），

由此得到位移法平衡方程组：

或用矩阵表示为：

[K]{x}+{R}=0，

式中[K]为刚度矩阵；{x}对为广义位移阵列；{R}为载荷阵列。上述方程组是关于n个未知量xi（i=1，2，…，n）的n个代数方程组，可解出xi（i=1，2，…，n）。

用位移法求解连续弹性体时，由于系统可看作是由无穷多个节点组成的，所以系统具有无穷多个节点位移自由度，这就需要无穷多个方程，因此必须用一些近似方程求解。方法之一是将系统化为有限个单元，只研究单元边界处的位移，这就是有限元法。另一方法是假设位移为一级数形式，每项级数为一已知的满足边界条件的函数，其系数为未知常数，代入平衡微分方程后即可求得系数，从而得到位移。

在实际应用中，根据各类结构的特点，位移法已发展成为多种实用计算法，常用的有转角位移法、变形分配法和力矩分配法等。

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