动量守恒定律

物理学的定律

动量守恒定律和能量守恒定律以及角动量守恒定律是现代物理学的三大守恒定律。最初它们是牛顿定律的推论，但它们的适用范围远超牛顿运动定律，是比牛顿定律更基础的规律，反映了物质和时空的性质。1918年德国数学家诺特（E.Neother）严格论证了真实世界中物质系统的每一种对称性都对应一条守恒律。其中空间平移对称性对应动量守恒定律，时间平移对称性对应能量守恒定律，点转动对称性对应角动量守恒定律。

定律简介

定律说明

动量守恒定律：一个物质系统不受外力或所受外力之和为零，（即），那么它的动量必定守恒。这个定律用数学表达式记作：。

因为动量是矢量，所以动量守恒定律的等式是一个矢量方程。若物体的运动是一维的，那么可以通过规定正方向将这个方程标量化，其中“+”表示物体运动方向与正方向相同，“-”表示物体运动方向与正方向相反。若物体的运动是二维甚至更高维度，则求和符合矢量相加减的原则。

动量守恒定律不仅适用于二体体系，也适用于多体体系：不仅适用于惯性系，也适用于非惯性系。动量守恒定律的适用范围比牛顿运动定律广。

数学推导

下面通过二体体系推导动量守恒定律。

如图1，小球1、2相向碰撞，质量分别为、初速分别为、、碰撞中小球1受到小球2的平均作用力为，小球2受到小球1的平均作用力为.碰后小球1、2的速度为、碰撞的平均作用时间为（水平向右为正方向）

由动量定理，可列方程：

由牛顿第三运动定律得

动量定理方程相加后得

整理后即得，为动量守恒定律方程式。

实验验证

（1）平抛法

利用如图2的装置验证动量守恒定律。

步骤1：用天平测量两个小球的质量。

步骤2：将斜槽固定在桌边并使其末端水平。在地板上铺白纸和复写纸，通过小铅锤将斜槽末端在纸上的投影记为点。

步骤3：首先让球1从斜槽点由静止释放，落在复写纸上，如此重复多次。

步骤4：再将球2放在槽口末端，让球1从点由静止释放，撞击球2，两球落到复写纸上，如此重复多次。

步骤5：取下白纸，用圆规找出落点的平均位置点、点和点，用刻度尺测出、和。

步骤6：改变点位置，重复上述实验步骤。

记两个小球的质量分别为和，只需验证即可验证动量守恒定律。

（2）气垫导轨法

实验中所用的气垫导轨长120cm，单个滑块的长度15cm，加装的弹性撞片尺寸约2cm，挡光板的长度为5cm，为使两滑块在导轨中段完成碰撞，并能成功获得碰撞前后速度，两光电门之间的距离选为40cm。经过光电门1、2的滑块质量分别记为、，那么碰撞前后两滑块构成的系统其动量见公式（1）（2）：

碰撞前两滑块的动量：(1)

碰撞后两滑块的动量：(2)

碰撞前后动量的相对误差：(3)

参与实验的2个滑块在水平方向上进行碰撞，根据动量守恒的条件，要求2个滑块构成的系统在水平方向上合外力为“0”。因此需要调整气垫导轨使其水平，首先利用水准仪调整气垫导轨一端的双脚螺丝使气垫导轨两侧水平，再锁死双脚螺丝：然后调节气垫导轨另一端的单脚螺丝，使气垫导轨水平。气垫轨水平与否的判断依据是任取其中一个滑块，使其连续经过2个光电门的时间差≤3ms。为了实现弹性撞，在其中一个滑块的碰撞端加装一块弹性撞片，如图1所示。鉴于滑块与气垫导轨之间存在摩接力，在气垫导轨细调及滑块碰撞的过程中，通过气泵持续给气垫导轨吹气，使滑块轻轻浮在气垫导轨上，轻推滑块，使两滑块在2个光电门之间完成碰撞，通过计时器记录两滑块碰撞前后的时间，再根据挡光板的长度计算出滑块碰撞前后的速度、、及。

定律应用

系统处于这两个条件下，可以应用动量守恒定律。

（1）系统所受的合外力为0。

（2）系统作用过程中内力远大于外力。

碰撞

碰撞过程经历的时间一般很短，物体的动量却变化很大，碰撞力很大，其他常见力相比碰撞力提供的冲量可以忽略，系统近似动量守恒。

质点1、2的碰撞前后的状态分别在图4的（a）（b）中示出。

对质点1、2可以建立动量守恒方程：

引入质心参考系，质心速度

质点1、2 相对质心C速度分别为

在质心系看来，质点1、2分别以速度、相向运动，两质点的动量之和为0。之后质点1、2相碰撞，两者动能转化为碰撞时的弹性势能，发生弹性形变。这个过程有瞬时的动量传递，质点1、2分别获得反向速度、。之后由于物体结构不同，弹性形变回复的程度也有差异。引入恢复系数刻画弹性形变回复的程度。在质心系看来，的数值等于与（或与的比值）。

通过伽利略变换关系，可以求解出地面系内两质点碰后速度：

质心系内质点1、2的动能总损失量，其中是由质点1、2构成的二体体系的约化质量。

质点1、2相对于地面系的总动能变化量可以分解为质心动能变化量和相对质心动能变化量（即质心系内动能损失量）。由于质心动能不变，质心动能变化量为0。由此可以得出质点1、2相对于地面系的总动能损失量为

表示弹性碰撞；表示完全非弹性碰撞；表示介于弹性碰撞和完全非弹性秘撞之间的非弹性秘撞。

变质量问题

变质量问题聚焦质量随时间变化的主体系统。对于主体系统，质量随时间的变化实质是这个多质点系的质点数目变化。如果同时考虑主体系统和质量变化的那部分系统，那么这个整体的质点数目是不变的。

变质量问题可分为增质型和减质型（如图5），运用动量守恒定律求解。变质量问题适用于在无穷小量时间内，主体体系质量变化量也为无穷小量的情形。

增质型：解得

减质型: （这里）解得

引入分离速度可将的表达式简化为

变质量问题模型在科技领域应用广泛，最典型的例子是航天器飞行。利用反作用原理推动航天器做期望的运动是控制航天器运行的有效方法。航天器通过喷出自身携带的工质产生反作用力，产生期望的推力。航天器的推进系统可以分为液体推进系统、固体推进系统、气体推进系统和气液推进系统，这些推进系统的功能是为发射有效载荷到达预定的目标提供必要的推力。

定律简史

历史上，笛卡尔、惠更斯和牛顿等人先后研究过碰撞等问题，建立并完善了动量等概念，提出了动量守恒定律。笛卡尔曾提出“运动量”是由“物质”的多少和“速度”的乘积决定的。惠更斯曾通过碰撞实验研究碰撞现象，由此他提出“两个物体所具有的运动量在碰撞中可以增加或减少，但是它们的量值在同一个方向上的总和保持不变”。他明确指出了动量的方向性和守恒性。牛顿在《自然哲学的数学原理》对动量的定义和动量守恒定律做了更准确的表述。

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