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勒让德符号

函数

勒让德符号，或二次特征，是一个由阿德里安-马里·勒让德在1798年尝试证明二次互反律时引入的函数。这个符号是许多高次剩余符号的原型；其它延伸和推广包括雅可比符号、克罗内克符号、希尔伯特符号，以及阿廷符号。

定义
勒让德符号 （有时为了印刷上的方便，写成(a|p))有下列定义：
如果(a|p) = 1，a便称为二次剩余(modp)；如果(a|p) = −1，则a称为二次非剩余(mod p)。通常把零视为一种特殊的情况。
a等于0、1、2、……时的周期数列(a|p)，又称为勒让德数列，有时把{0,1,-1}的数值用{1,0,1}或{0,1,0}代替。
公式
勒让德原先把他的符号定义为：
欧拉在之前证明了这个表达式是≡ 1 (modp)，如果a是二次剩余(modp)，是≡ −1如果a是二次非剩余；这个结论称为欧拉准则。
除了这个基本公式以外，还有许多其它(a|p)的表达式，它们当中有许多都在二次互反律的证明中有所使用。
高斯证明了如果 ，那么：
这是他对二次互反律的第四个、第六个，以及许多后续的证明的基础。参见高斯和。
克罗内克的证明是建立了
然后把p和q互换。
艾森斯坦的一个证明是从以下等式开始：
把正弦函数用椭圆函数来代替，他也证明了三次和四次互反律。
其它公式
斐波那契数1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ……由递推公式F1= F2= 1，Fn+1= Fn+ Fn-1定义。
如果p是素数，则：
例如：
这个结果来自卢卡斯数列的理论，在素性测试中有所应用。
性质
勒让德符号有许多有用的性质，可以用来加速计算。它们包括：
（它是一个完全积性函数。这个性质可以理解为：两个剩余或非剩余的乘积是剩余，一个剩余与一个非剩余的乘积是非剩余。）
如果a≡b(modp)，则
这个性质称为二次互反律的第一补充。
这个性质称为二次互反律的第二补充。一般的二次互反律为：
如果p和q是奇素数，则
勒让德符号(a|p)是一个狄利克雷特征(modp)。
计算例子
以上的性质，包括二次互反律，可以用来计算任何勒让德符号。例如：
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