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毕达哥拉斯三元数组

毕达哥拉斯三元数组

对于著名的数学定理毕达哥拉斯定理：在一个边长为a、b、c的直角三角形中，a2+b2=c2。尤其理想的情况是a、b、c均为整数，则称为毕达哥拉斯三元数组。例如3、4、5和5、12、13都构成毕达哥拉斯三元数组(因为32+42=52，52+122=25+144=169=132)。人们可以确定所有的毕达哥拉斯三元数组，古典时期人们就已经探讨了这个问题，例如在丢番图(Diophantus，246-330)的《算术》一书中就有所记录。

基本介绍
毕达哥拉斯三元数组(Pythagorean triple)亦称勾股数组，又称商高数组，是一个著名的不定方程问题，指三元二次不定方程的正整数解。若正整数x，y，z能使x2+y2=z2成立，则(x，y，z)是一个毕达哥拉斯三元数组。
本原毕达哥拉斯三元数组
当(x，y，z)=1时，则称(x，y，z)为本原毕达哥拉斯三元数组。找出所有毕达哥拉斯三元数组就等同于求出不定方程
的所有正整数解。本原毕达哥拉斯三元数组亦称为方程(1)的本原解，它有以下性质：
1.若(x，y，z)是满足方程(1)的本原毕达哥拉斯三元数组，则x，y中有且仅有一数为偶数。因此，z必为奇数。
2.若(x，y，z)是满足方程(1)的本原毕达哥拉斯三元数组，且设x为偶数，则存在正整数m和n，m>n，(m，n)=1，m n(mod 2)，能使x=2mn，y=m2-n2，z=m2+n2成立。
3.若x=2mn，y=m2-n2，z=m2+n2，则(x，y，z)是满足方程(1)的毕达哥拉斯三元数组。如果还有m>n>0，(m，n)=1和m n(mod 2)，则(x，y，z)是本原毕达哥拉斯三元数组。
相关介绍
中国古代数学书《周髀算经》中记载了托古传闻商高答周公：“故折矩，以为勾广三，股修四，径隅五”。说明至少在成书时已经知道方程(1)的一个特解。毕达哥拉斯(Pythagoras)创立毕达哥拉斯学派，在数学方面给出了方程(1)的部分正整数解，后被欧几里得(Euclid)记入《几何原本》中，并把表达直角三角形三边关系的(1)式称为毕达哥拉斯定理。费马(P.deFermat)从1637年开始对丢番图(Diophantus)的《算术》进行评注，导致他提出了在数论发展史上非常重要的10个问题，其中有3个与勾股数组有关的问题是：
1.形如4n+1的素数能够而且只能够以一种方式表达为两个平方数之和。1749年，欧拉(L.Euler)已给出了证明。近代有人把素数p=x2+y2中的x，y具体表示为p=(s(r)/2)2+(s(n)/2)2，其中r，n满足勒让德符号
并且
2.每一个正整数能够表成四个整数的平方和(参见“华林问题”)。
3.不定方程x4+y4=z2，(x，y)=1，没有xy≠0的整数解。
还有一个与毕达哥拉斯三元数组有关的猜想：设(x，y，z)是满足不定方程(1)的毕达哥拉斯三元数组，a，b，c∈Z+，且满足xa+yb=zc，则a=b=c=2，此猜想仍未彻底解决。
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