单峰函数

数学术语

单峰函数是在所考虑的区间中只有一个严格局部极大值(峰值)的实值函数。如果函数f(x)在区间[a, b]上只有唯一的最大值点C，而在最大值点C的左侧，函数单调增加；在点C的右侧，函数单调减少，则称这个函数为区间[a, b]上的单峰函数。

概念

定义

设D表示一个实数集合(闭区间，开区间，区间的并，集合等)，设是定义在D上的实值函数，如果存在，使得对D中任何冀，，当时，有

当时，

那么就说是定义在D上的单峰函数(图1)，换句话说，如果在左边递增，在右边递减，那么就是D上的单峰函数，就是在D上的最大值(峰值)称为峰值点。

类似．如果存在，使得D中任何，，当时，有

当时，有

那么就说是D上的单谷函数，称为谷值点(图2)。

实例分析

例1 二次函数当时，为单峰函数，当时，为单谷函数。

例2 函数在为定数)上为单峰函数，而在（均为定数）上为单谷函数。

例3 使用单因素优选法的经验表明，单因素实验指标函数大多为单峰(谷)函数。

例4 函数，，，在整个定义域上不是单峰函数，也不是单谷函数。

由定义可知，单峰函数在定义域上有最大值(峰值)，单谷函数有最小值(谷值)，这就确定了这函数类在处理极值问题中的地位。

单峰函数的性质

由定义可知，在闭区间或有限集合上的单调函数既为单峰函数，又为单谷函数，这样，就容易证明，对集合D，如是D上单峰函数，，则是D'上的单峰函数，对单谷函数也一样，归纳起来，单峰(谷)函数有如下性质。

性质1 单峰函数在其定义域的任何子集上，仍为单峰函数，对单谷函数也一样。

性质2 若为单峰(谷)函数，那么(、为常数)，当>0时，仍为单峰(谷)函数，当<0时，为单谷(峰)函数，且峰(谷)值点不变。

特别，=0，=-1的情况告诉我们，如为单峰(谷)函数，则一为单谷(峰)函数，因此，在论证有关性质时，只考虑单峰函数就行了。

性质3 如为闭区间D上的凸函数(凹函数)，那么必为D上的单谷(峰)函数。

证明：如为D上的单调函数，则为单谷或单峰函数，如不然，则在D上有的部分递减，有的部分递增，因此有局部极小(大)点，该局部极小(大)点也是全局极小(大)点，因此，在左边是减函数，而在右边为增函数，因此，在D上是单谷(峰)函数，但是反过来不然，这就说明了单峰单谷函数同凸、凹函数的类属关系。

单峰函数的应用

我们知道，单峰函数的概念首先是为了解决优选法理论问题的需要而提出来的，而优选法的本质在于用实验求指标函数(无需知道它的表达式)的极值，而采用的“试一比一去”的程序，就是在实验区间(即指标函数的定义域)[a，b]内先取两点(0.618法，分数法，各有特定取法)和，()，通过实验比较和的大小，如果，则把去掉，留下，其中已有一个试过的点，再按特定方法取，通过实验比较与的大小，…；如果，则去掉，留下其中包含了已试点，按特定方法取，比较与的大小，…总之，每次去掉坏点(指较小的点)以外的那部分区间。

问题在于这种试验程序能否保证试验点序列收敛于最优点?我们知道，一个单峰函数，通过上述程序每次去掉一部分区间以后，性质1保证了在剩下区间上仍是单峰函数，程序可以继续进行，但是，的峰值点是不是总留在剩下的区间中呢?下面的定理肯定回答了这个问题。

定理设为[a，b]上的单峰函数，是它的峰值点，设，(<)是[a，b]上任意两点，那么，

若，则在上；

若，则在上。

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