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单调函数

数学定义

单调函数（Monotone function）是指定义域和值域都为有序集合并且保持序的函数。如，假设f是在两个带有偏序≤的集合P和Q之间的函数。函数f是单调的，如果只要x≤y，则f（x）≤f（y）。这些函数最先出现在微积分中，后来推广到序结构等更加抽象的结构中。

定义
设 f: P → Q是在两个带有偏序≤的集合P和Q之间的函数。在微积分中，它们是带有平常次序的实数集的子集之间的函数，但是定义仍保持同更一般的序理论定义一样。
函数f是单调的，如果只要x ≤ y，则f(x) ≤ f(y)。因此单调函数保持次序关系。
性质
基本性质
如果函数y=在某个区间是增函数或减函数，就称函数在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y= 的单调区间，在单调区间上增函数的函数图像是上升的，减函数的函数图像是下降的。
注意
判定方法
判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤有两种主要方法：
定义法
求导法
利用导数公式进行求导，然后判断导函数和0的大小关系，从而判断增减性，导函数值大于0，说明是严格增函数，导函数值小于0，说明是严格减函数，前提是原函数必须是连续的。当导数大于等于0时也可为增函数，同理当导数小于等于0时也可为减函数。
推广
现代数学中，在有序集合之间的函数是单调（monotone）的，如果它们保持给定的次序。这些函数最先出现在微积分中，后来推广到序理论中更加抽象结构中。尽管概念一般是一致的，两个学科已经发展出稍微不同的术语。在微积分中，我们经常说函数是单调递增和单调递减的，在序理论中偏好术语单调和反单调或序保持和序反转。
全序的次序就没有了吸引人的图像动机。进一步的，严格关系 < 和 > 在多数非全序的次序中很少使用，因此不介入它们的额外术语。
设f: P → Q为一函数映射，是在两个带有偏序的集合 P 和 Q 之间的函数映射。
如果x ≤ y 蕴涵 ≤ ，就称为单调（monotone）函数，也叫做isotone 或序保持函数。
对偶概念经常叫做反单调、antitone 或序反转。因此，反单调函数 f 满足性质x ≤ y 蕴涵 ≥ ，
对于它的定义域中的所有 x 和 y。容易看出两个单调函数的复合也是单调的。
常数函数是单调的也是反单调的；反过来，如果 f 是单调的也是反单调的，并且如果 f 的定义域是全序集，则 f 必定是常量函数。
单调函数是序理论的中心。它们大量出现于这个主题的文章和在这些地方的找到的应用中。
著名的特殊单调函数是序嵌入（x ≤ y当且仅当f(x) ≤ f(y) 的函数）和序同构（双射序嵌入）。
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