单李代数

数学术语

单李代数(simple Lie algebra)是一类结构简单的李代数。设L为域F上的李代数，若L的非零理想只有L本身，且[L，L]≠0，则L称为单李代数。单李代数必为半单李代数，反之，在实数及复数的情形，半单李代数必为单理想子代数的直和，因此，研究实及复半单李代数的问题化为研究实及复单李代数。

定义

设L为域F上的李代数，若L的非零理想只有L本身，且[L,L]≠0(即L非交换代数)，则L称为单李代数。

性质

单李代数的中心为{0}，而导出代数为本身。

单李代数必为半单李代数，反之，在实数及复数的情形，半单李代数必为单理想子代数的直和，因此，研究实及复半单李代数的问题化为研究实及复单李代数。

例子

当dimV≧2时，特殊线性代数为单李代数。

人物介绍

Marius Sophus Lie（/liː/ LEE;挪威语：[liː]; 1842年12月17日 - 1899年2月18日）是挪威数学家。他在很大程度上创造了连续对称理论，并将其应用于几何和微分方程的研究。

他的第一个数学作品，在1869年由科学院在克里斯蒂安出版，也由克莱勒杂志出版。同年，他获得了奖学金，并前往柏林，他于1870年9月至2月期间住在那里。他遇到了Felix Klein，他们成了亲密的朋友。当他离开柏林时，李先生前往巴黎，两个月后他遇到了克莱因。在那里，他们遇到了卡米尔·乔丹和加斯顿·达布斯。但1870年7月19日，普鲁士战争开始，克莱因（普鲁士人）不得不快速离开法国。遗憾的是离开了枫丹白露一段时间，他被怀疑是一个德国间谍被捕，这个事件让他在挪威闻名。由于Darboux的干预，他在一个月后被释放。

Lie于1871年在克里斯蒂安大学（现在的奥斯陆）获得博士学位，题为“一类几何变换”。 Darboux将其描述为“现代几何学中最帅的发现之一”。明年，挪威议会为他建立了非凡的教授。同年，李恩访问了克莱因，当时他在埃尔兰根（Erlangen），并在埃尔兰根（Erlangen）计划上工作。

1872年底，Sophus Lie向安娜·桦木提出了十八岁，并于1874年结婚。这对夫妇有三个孩子：玛丽（1877年），丹尼（1880年）和赫尔曼（1884年））。

在1884年，弗里德里希恩格尔抵达克里斯蒂安，帮助他，在克莱因和阿道夫·梅耶（当时都是莱比锡的教授的时候）的支持下。恩格尔将帮助莱布写出他最重要的论文“理论变革格鲁本”，出版于莱比锡，从1888年到1893年，共有三卷。几十年后，恩格尔也将是李氏收藏作品的两位编辑之一。

在1886年，莱德成为莱比锡的教授，代替搬到哥廷根的克莱因。 1889年11月，李某遭受精神崩溃，不得不住院至1890年6月。之后，他回到职位，但多年来，他的贫血发展到了他决定回到家园的地步。因此，1898年5月他提出辞职，并于同年9月离开家（好）。他于1899年的第二年去世。

他于1878年被授予伦敦数学学会荣誉会员，1892年是法国科学院院士，1895年是伦敦皇家学会的外国成员，1895年是美国国家科学院的外国助理。。

Sophus Lie因56岁而死亡，因为有恶性贫血，一种由维生素B12吸收受损引起的疾病。

李代数

李代数式一类重要的非结合代数。记L为域F上的线性空间，若L中除了加法和纯量积，还有第三种代数运算：L×L→L，记为[x，y]，x，y∈L，它适合条件：

1.反对称性　[x，x]=0，　x∈L。

2.双线性性　[λx+μy，z]=λ[x，z]+μ[y，z]，λ，μ∈F，x，y∈L。

3.Jacobi恒等式　[[x，y]，z]+[[z，x]，y]+[[y，z]，x]=0，x，y，z∈L。

则[x，y]称为x和y的换位运算，亦称“方括号运算”.这时L称为域F上李代数，简称李代数.当L的维数有限时，称为有限维李代数;当L的维数无限时，称为无限维李代数.例如，若L为域F上的结合代数，满足结合律的乘法，记为ab，a，b∈L，则运算[a，b]=ab-ba， a，b∈L为换位运算.在此运算下，L为李代数.特别地，若L为由所有n×n矩阵构成的结合代数，则在矩阵运算下定义：

[A，B]=AB-BA

便构成一个n维李代数。

非结合代数是环论的一个分支，与结合代数有着密切联系。结合代数的定义中把乘法结合律删去，就是非结合代数。

李代数是挪威数学家S.李在19世纪后期研究连续变换群时引进的一个数学概念，它与李群的研究密切相关。在更早些时候，它曾以含蓄的形式出现在力学中，其先决条件是“无穷小变换”概念，这至少可追溯到微积分的发端时代。可用李代数语言表述的最早事实之一是关于哈密顿方程的积分问题。S.李是从探讨具有r个参数的有限单群的结构开始的，并发现李代数的四种主要类型。法国数学家É.嘉当在1894年的论文中给出变数和参变数在复数域中的全部单李代数的一个完全分类。他和德国数学家基灵都发现，全部单李代数分成4个类型和5个例外代数，É.嘉当还构造出这些例外代数。É.嘉当和德国数学家外尔还用表示论来研究李代数，后者得到一个关键性的结果。“李代数”这个术语是1934年由外尔引进的。随着时间的推移，李代数在数学以及古典力学和量子力学中的地位不断上升。到20世纪80年代，李代数不再仅仅被理解为群论问题线性化的工具，它还是有限群理论及线性代数中许多重要问题的来源。李代数的理论不断得到完善和发展，其理论与方法已渗透到数学和理论物理的许多领域。

单李群介绍

在群论中，一个单李群是一个连接的非阿贝尔李群G，没有与平凡的正常子群相连。

单李代数是一个非阿贝尔李代数，其唯一的理想是0和它自己（或等价地，维度2或更多的李代数，其唯一的理想是0和它自己）。

单李群是一类李群，在离散群体论中类似于简单群体的李群理论中发挥作用。本质上，简单的李群是连接的李群，不能被分解为较小连接的李群的扩展，并且不可交换。

与实数的交换李群一起，R，单位复数U（1）的单李群给出了原子“块”通过组扩展的操作来连接所有（有限维）连接的李群。许多通常遇到的李群是简单的或接近于简单的：例如，对于所有n> 1，具有等于1的n乘n个矩阵的组SL（n）是简单的。

一个简单的李群的等价定义遵循李对应关系：如果李代数简单，则连接的李群是简单的。一个重要的技术要点是，简单的李群可能包含离散的正常子群，因此简单的李群与简单的抽象群不同。

单李群包括许多古典的李群，它们为Felix Klein的Erlangen计划提供了球形几何，投影几何和相关几何的群理论支撑。在单李群的分类过程中出现，也存在几种与任何熟悉的几何相对应的特殊可能性。这些特殊的组织在数学的其他分支以及当代理论物理学中占有许多特殊的例子和应用。

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