单点紧化

特殊的紧化

单点紧化(one-point compactification)亦称亚历山德罗夫紧化，是一种特殊的紧化。将拓扑空间嵌入紧空间的一种方式。设(X，J)是拓扑空间，∞是一个抽象的点，令X*=X∪{∞}，J*=J∪{U⊂X*|X*－U是X的紧闭集}，则(X*，J*)是紧的拓扑空间，X是它的子空间，圆周和球面分别可看作是直线和平面经单点紧化而得到的，X*是豪斯多夫空间的充要条件是X为局部紧的豪斯多夫空间。由于紧豪斯多夫空间有很多好的拓扑性质。利用单点紧化采研究局部紧豪斯多夫空间往往是一种有效的方法。

基本概念

定义1 一个拓扑空间是局部紧致的，如果对于任一，存在一个包含于X的一个紧致子集之中的邻域。

例1任一紧致空间当然是局部紧致的，由于每一个都有既作为它的一个邻域又作为包含此邻域的一个紧致集的X。

例2实轴R是局部紧致的，由于对于任一，我们有而是紧致的。

例3R的在标准拓扑中的子空间Q不是局部紧致的。

定义2 设x是一个豪斯多夫空间，Y等于X与附加的单点(记为)的并，(见图1)对上的一个拓扑，把以下两种类型的子集定义为开集：

(1)在X中是开集；

(2)形如的集合，其中C是X的一个紧致子集。

我们称所得到的拓扑空间Y为X的单点紧化。

相关性质

当然，我们需要证实，此开集族所描述的恰好是一个拓扑，下面进行证实。

定理1

设X是一个豪斯多夫空间，在X单点紧化的定义中的子集族，是Y上的一个拓扑。

证明：空集是Y中的开集，由于它是X中的一个开子集。整个集合Y本身，在Y中也是开集，由于它在Y中是空集的补集，而是X的一个紧致子集。

为了证明Y中开集的有限交在Y中是开集，只要检验一对开集U与V的交就可以了，然后再用数学归纳法，就可以得到任意有限交的结果了。为此，设U与V是Y中的开集。我们需要检验3种不同的情况，首先，如果U与V都是X中的开集，那么是X中的一个开集，从而使它成为Y中的一个开集。其次，假定与，其中是X的紧致子集。于是。由于紧致集的有限并仍是紧致的，因此是X的一个紧致子集。于是得出，对于X的一个紧致子集C，因而在这种情况下，在Y中同样是开集。最后，假定U是X中的开集，而，其中C是X的一个紧致子集。那么，由于不在U中，于是得出。而C在X中是闭的，由于它在豪斯多夫空间X中是一个紧致集，因此，在X中是开的，蕴涵在X中为开。于是在X中为开，从而在此时使得它在Y中也为开。于是得出，如果U与V是Y中的任意开集，那么在Y中也是开的，这正是我们所要证明的。

最后，我们证明开集的任意并是开集，我们可以把这一任意并表示为以下的形式：

其中每个在X中是开的，而每个是X的一个紧致子集。集合在X中是开的，我们用U来表示它，此外，

又由于任一集合是豪斯多夫空间X的紧致子集，是X的一个紧致子集。设，我们发现且C是X的一个紧致子集。因此，我们仅需要验证在Y中是开的，其中U在X中是开的，而C是X的一个紧致子集。设为U在X中的补，那么C’在X中是闭的，因而

C是豪斯多夫空间X的一个紧致子集，所以C在X中是闭的。因此，在X中是闭的，而由于是紧致集C的一个子集，于是得到是X的一个紧致子集，因此，是Y中的一个开集，蕴涵是Y中的一个开集。于是得出，Y中开集的任意并是Y中的一个开集。所以，在X单点紧化的定义中所描述的Y的子集族是Y上的一个拓扑。

X是单点紧化的一个子集，因此，X从Y传承一个子空间拓扑，以下的定理指出这个子空间拓扑与原拓扑是相同的，因而我们可以把X看作是它的单点紧化的一个子空间。

定理2

设X是一个豪斯多夫空间，并设是它的单点紧化，那么传承自Y的X的子空间拓扑，等于X上的原拓扑。

接下来，我们说明使用术语“紧致化”的理由。

定理3

设X是一个豪斯多夫空间，它的单点紧化,是紧致的。

定理4

设X是一个局部紧致的豪斯多夫空间，那么，X的单点紧化是豪斯多夫的。

证明：为了看出Y是豪斯多夫的，设x与y是Y中的点。在第一种情况下，假定x与y都在X中，由于X是豪斯多夫空间，我们就可以在X中找到分别包含x与y的分离开集U与V，集合U与V在Y中也是开集，因而在Y中存在x与y的分离邻域。在第二种情况下，设且。由于X是局部紧致的，因此在包含y的一个邻域U的X中，存在一个紧致子集C。Y中的开集和U是分离集，且分别包含x与y。于是在这种情况下，在Y中也存在x与y的分离邻域，因此，Y是豪斯多夫的。

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