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雷劈数

数学规律

雷劈数是自然数的一类，若正整数X（在n进位下）的平方可以分割为二个数字，而这二个数字相加后恰等于X，那么X的平方就是（n进位下的）一个雷劈数，又称卡布列克数。例如55^2=3025，而30+25=55，那么3025就是一个雷劈数。

发现
印度数学家卡普列加（Dattaraya Ramchandra Kaprekar, 1905 - 1986）在一次旅行中，遇到猛烈的暴风雨，他看到路边一块牌子被劈成了两半，一半上写着30，另一半写着25。这时，他忽然发现30+25=55，55^2=3025，把劈成两半的数加起来，再平方，正好是原来的数字。从此他就专门搜集这类数字。
按照第一个发现者的名字，这种怪数被命名为“卡普列加数”或“雷劈数”或“卡布列克怪数”，也叫“分和累乘再现数”。
卡氏数可以指平方后的数，亦可指平方前的数，常常不加区分。
求法
人们容易找到其他的数也具有这样的性质。例如，易知2025具有该性质：20+25=45，45^2=2025。
求雷劈数的方法很多，从初等数学到高等数学，应有尽有。以下是两种最简单的办法（以两位数+两位数为例）：
方法一
设该数的前两位为x，后两位为y，根据定义，有
(x + y)^2 = 100x + y
即 x^2 + 2(y - 50)x + y^2 - y = 0。
该方程的判别式D=4(2500 - 99y)必须是完全平方数，而y本身也必须是平方数的尾数，故可求得y等于1或25，从而求得四个结果2025，3025，9801和0001（舍去）。
方法二
同样设该数的前两位为x，后两位为y。于是有
(x + y)^2 = 100x + y = x + y + 99x
(x + y)(x + y - 1) = 99x
从而看出x + y与x + y - 1中有一个是9的倍数，另一个是11的倍数（当然依照位数不同，也可能是别的因数），从而找出候补者44，55和99。下略。
用以上方法，亦可找到其他位数的雷劈数，如7777^2 = 60481729；6048 + 1729 = 7777。最小的雷劈数是81
简单性质
最小的奇雷劈数是81：8+1=9 92 = 81。
最小的雷劈偶数是100:10+0=10 102=100
如果M^2是雷劈数，那么(10...0 - M)^2也是雷劈数.证明：
设M^2是雷劈数，可以分割成x和y两部分，且M=x+y，y为n位数，则
M^2=10^n*x+y（雷劈数定理）
然而
(10^n-M)^2
=10^(2n)-2M*10^n+M^2
=10^(2n)-2M*10^n+10^n*x+y
=10^(2n)-2M*10^n+10^n*(M-y)+y
=10^n*(10^n-M-y)+y
同样满足雷劈数方程。
在二进制下，所有的完全数都是卡布列克数（同雷劈数）。
雷劈数表
以下用x|y表示一个平方数N可以分割为x和y两部分，(x + y)^2 = N。
y是一位数：10x + y = (x + y)^2
N=0|0, 10|0, 0|1, 8|1
有意义的数只有9^2 = 81。
y是两位数：100x + y = (x + y)^2
0^2 = 0|00, 100^2 = 100|00
45^2 = 20|25, 55^2 = 30|25
99^2 = 98|01, 1^2 = 0|01
其中有意义的数是45^2=2025, 55^2=3025。
0|0...0, 0|0...1, 10...0|0...0这三种属于平凡解，下略。
根据上节的性质，雷劈数必然成对存在；但9..98|0...01是比较特殊的一类，与其成对的0|0...1属于平凡解。
y是三位数：1000x + y = (x + y)^2
297^2 = 88|209
703^2 = 494|209
999^2 = 998|001
y是四位数：10000x + y = (x + y)^2
2223^2 = 494|1729
7777^2 = 6048|1729
2728^2 = 744|1984
7272^2 = 5288|1984
4950^2 = 2450|2500
5050^2 = 2550|2500
9999^2 = 9998|0001
4879^2 = 238|04641
y是五位数：100000x + y = (x + y)^2
95121^2 = 90480|04641
82656^2 = 68320|14336
17344^2 = 3008|14336
77778^2 = 60494|17284
22222^2 = 4938|17284
99999^2 = 99998|00001
y是六位数：1000000x + y = (x + y)^2
994708^2 = 989444|005264, 5292^2 = 28|005264
961038^2 = 923594|037444, 38962^2 = 1518|037444
857143^2 = 734694|122449, 142857^2 = 20408|122449
851851^2 = 725650|126201, 148149^2 = 21948|126201
818181^2 = 669420|148761, 181819^2 = 33058|148761
812890^2 = 660790|152100, 187110^2 = 35010|152100
791505^2 = 626480|165025, 208495^2 = 43470|165025
681318^2 = 464194|217124, 318682^2 = 101558|217124
670033^2 = 448944|221089, 329967^2 = 108878|221089
648648^2 = 420744|227904, 351352^2 = 123448|227904
643357^2 = 413908|229449, 356643^2 = 127194|229449
609687^2 = 371718|237969, 390313^2 = 152344|237969
538461^2 = 289940|248521, 461539^2 = 213018|248521
533170^2 = 284270|248900, 466830^2 = 217930|248900
500500^2 = 250500|250000, 499500^2 = 249500|250000
999999^2 = 999998|000001
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