双纽线

卡西尼卵形线等曲线的特殊情况

双纽线，也称伯努利双纽线，设定线段AB长度为2a，若动点M满足MA*MB=a^2，那么M的轨迹称为双纽线。双纽线是卡西尼卵形线和正弦螺线等曲线的特殊情况。双纽线可通过等轴双曲线经过反演得到，即它是双曲线关于圆心在双曲线中心的圆的反演图形。

基本介绍

关于伯努利双纽线的描述首见于 1694 年，雅各布· 伯努利将其作为椭圆的一种类比来处理。椭圆是由到两个定点距离之和为定值的点的轨迹。而卡西尼卵形线则是由到两定点距离之乘积为定值的点的轨迹。当此定值使得轨迹经过两定点的中点时，轨迹便为伯努利双纽线。伯努利将这种曲线称为 lemniscate ，为拉丁文中 “悬挂的丝带”之意。伯努利双纽线在科技和轻工业领域也得到了广泛应用，在欧洲，伯努利还将伯努利双纽线应用于赌博术中。伯努利双纽线是一个特殊的曲线，它是卡西尼卵形线和正弦螺线等曲线的特殊情况，这就意味着伯努利双纽线在沟通各曲线研究上起到了重要的作用，因此对于伯努利双曲线的探讨显得尤为重要和迫切。

双纽线是函数图形，不仅体现了数学美的对称、和谐、抽象、简洁、精确、统一、奇异、突变，同时也具有特殊的有价值的艺术美，是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也是许多艺术家设计作品的主要几何元素。双纽线函数图形轮廓像阿拉伯数字中的“8”，在中国8是个简单的数字，但是现代人却给了它更丰富的意思。在南方那是发财的意思，因为和汉字“发”谐音。通过双纽线的外延和内涵，在不对其变形的基础上，对双纽线函数图形进行可用图式的概括，在此基础上可以创作出许多优秀的艺术作品。

模型的建立

如图1所示为一双纽线图形。

在数学中，双纽线是由平面直角坐标系中的以下方程定义的平面代数曲线：

其中，a为图1中、的长度。

伯努利双纽线在极坐标中也有简洁的表示：

在双极坐标系，伯努利双纽线的方程也类似：

模型的性质

（1）在笛卡尔坐标系中，伯努利双纽线关于坐标原点对称，坐标原点是具有切线 y=±x 的结点和拐点。从伯努利双纽线上任何一点 M到给定的两点的距离之积，等于之间的一半距离的平方。曲线的形状类似于打横的阿拉伯数字 8 或者无穷大的符号。

（2）伯努利双纽线的曲率在直角坐标系中可以表示为：

（3）伯努利双纽线的曲率半径为：

（4）伯努利双纽线每个回线围成的面积为：

应用

（1）在纺织中的应用：伯努利双纽线在纺织中作为花纹得到广泛应用，用双纽线编织的布料外形美观，结构紧密，具有重复性和渐变性。

（2）在增压器中的应用：伯努利双纽线无撞击双进气拓宽流量增压器在工业中得到广泛应用。

（3）在赌博术中的应用：在雅各布·伯努利的《猜度术》一书中，将伯努利双纽线广泛应用到赌博术中。