正弦螺线

数学特殊曲线

正弦螺线(sine spiral)是一种特殊曲线，是螺线的一种，指极坐标满足极径ρ的n次方等于a乘以cosnθ的曲线，其中，θ为极角。螺线是指任何一种围绕一个中心点或一条轴旋转，同时又逐渐远离的动点的轨迹。除了正弦螺线，常见的螺线还有阿基米德螺线、对数螺线、双曲螺线等。

螺线

螺线，是一类特殊曲线。它是切向量与一个固定的方向成定角的曲线。曲线为一般螺线的充分必要条件是它的挠率与曲率之比为常数，这类特殊曲线在力学工程技术中有着广泛的应用。螺线可分为螺旋线(非平面曲线)及平面螺线。

在空间，一个动点M沿直线L作匀速直线运动，同时又以等角速度绕同平面的轴线Oz旋转，M的轨迹是一条空间(非平面)曲线，称为螺旋线。它分为左旋与右旋两种。螺旋线是绕在圆柱面或圆锥面上的曲线，而它的切线与定直线(曲面的母线)的交角，是固定不变的。

对于平面螺线，是指在平面极坐标系中，如果极径ρ随极角θ的增加而成比例增加（或减少），这样的动点所形成的轨迹。典型的平面螺线有正弦螺线、阿基米德螺线、对数螺线、双曲螺线等。

正弦螺线

定义

正弦螺线是一种特殊曲线，指极坐标方程为的曲线，其上任一点处切线对于极轴的倾斜角α是极角θ的线性函数，故极径与切线的夹角。如图1，曲率中心C位于法线MN上，对于正弦螺线，有。

特例

正弦螺线有如下特例：

（1）当n=-2时为等边双曲线；

（2）当n=-1时为直线；

（3）当n=-1/2时为抛物线；

（4）当n=-1/3时为契尔恩豪森三次曲线；

（5）当n=1/2时为心脏线；

（6）当n=1时为圆；

（7）当n=2时为伯努利双纽线。

图2上画出n=3，4，3/5时的正弦螺线。

其他常见螺线

阿基米德螺线

阿基米德螺线是实践中常用的一种曲线。动点在一直线上做匀速运动，而这条直线又围绕着自己上面的一个定点作匀速转动的动点的轨迹称为阿基米德螺线，也叫等速螺线或平面螺线。它的极坐标方程为：

阿基米德在其《螺线》(On Spirals) 一书中引进了在极坐标ρ与θ之下的平面螺线ρ=aθ（如图3所示），其绕线不在同一平面上。据说，阿基米德螺线最初是由阿基米德的老师柯农(欧几里德的弟子)发现的。柯农死后，阿基米德继续研究，又发现许多重要性质，因而这种螺线就以阿基米德的名字命名了。为解决用尼罗河水灌溉土地的难题，它发明了圆筒状的螺旋扬水器，后人称它为“阿基米德螺旋”。除了杠杆系统外，值得一提的还有举重滑轮、灌地机、扬水机以及军事上用的抛石机等。被称作“阿基米德螺旋”的扬水机至今仍在埃及等地使用。一些喷淋冷却塔所用的螺旋喷嘴喷出喷淋液的运动轨迹也为阿基米德螺线。

对数螺线

对数螺线是一种特殊曲线。指在极坐标系中，极半径ρ的对数与极角θ的比为常数的点M(ρ，θ)的轨迹。它的极坐标方程为。式中，a、k为常数，e为自然对数的底。对数螺线上点M(ρ，θ)的切线与极半径OM的夹角α都相等(cot α=k)，因而亦称它为等角螺线。当极角按算术级数增加时，对数螺线的极半径按几何级数增加。对数螺线关于极点O的垂足曲线和反演图形仍然是与原曲线全等的对数螺线，仅位置有所不同。对数螺线的渐伸线和渐屈线也都是对数螺线。对数螺线是1638年由笛卡儿(Descartes，R.)引入的，雅各布第一·伯努利(Bernoulli，Jacob Ⅰ)作了深入的研究，他在遗嘱里吩咐要把对数螺线刻在他的墓碑上，因此又称伯努利螺线。

从植物嫩枝的顶端往下，叶子大致上是按对数螺线排列的，这样能使采光面积达到最大；在古生物的研究中，也应用了这种曲线。对数螺线上任一点的切线，与切点的矢径相交成固定的角。这一性质在机械上有广泛的应用。如果旋转的切削刀沿此曲线的弧运动，就可保持固定的切削角，这种刀已在锄草机中使用。为了制造的方便，对数螺线的短弧，可以用阿基米德螺线的短弧近似代替。

双曲螺线

双曲螺线，也称反螺线，是一种特殊曲线，是阿基米德螺线关于极点的反演图形。它是极径和极角成反比例的动点轨迹。双曲螺线的方程是：

双曲螺线以直线y=a为渐近线。曲线有两支，它们关于y轴对称。

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