平面极坐标

数学名词

平面极坐标是指在平面内取一个定点O，叫极点，引一条射线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面内任何一点M，用r表示线段OM的长度， θ表示从Ox到OM的角度，r叫做点M的极径， θ叫做点M的极角，有序数对(r，θ)就叫点M的极坐标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。

定义

正如所有的二维坐标系，平面极坐标系也有两个坐标轴：r（半径坐标）和θ（角坐标、极角或方位角，有时也表示为φ或t）。r坐标表示与极点的距离，θ坐标表示按逆时针方向坐标距离0°射线（有时也称作极轴）的角度，极轴就是在平面直角坐标系中的x轴正方向。比如，极坐标中的(3，60°)表示了一个距离极点3个单位长度、和极轴夹角为60°的点。(−3，240°) 和(3，60°)表示了同一点，因为该点的半径为在夹角射线反向延长线上距离极点3个单位长度的地方(240°−180°=60°)。极坐标系中一个重要的特性是，平面直角坐标中的任意一点，可以在极坐标系中有无限种表达形式。通常来说，点(r，θ)可以任意表示为(r，θ±n×360°)或(−r，θ ±(2n+1)180°)，这里n是任意整数。如果某一点的r坐标为0，那么无论θ取何值，该点的位置都落在了极点上。

使用弧度单位

极坐标系中的角度通常表示为角度或者弧度，使用公式2π rad = 360°。具体使用哪一种方式，基本都是由使用场合而定。航海(Navigation)方面经常使用角度来进行测量，而物理学的某些领域大量使用到了半径和圆周的比来作运算，所以物理方面更倾向使用弧度。

极坐标系

在极坐标中，x被ρcosθ代替，y被ρsinθ代替。ρ=(x2+y2)0.5。极坐标系是一个二维坐标系统。该坐标系统中的点由一个夹角和一段相对中心点—极点（相当于我们较为熟知的直角坐标系中的原点）的距离来表示。极坐标系的应用领域十分广泛，包括数学、物理、工程、航海以及机器人领域。在两点间的关系用夹角和距离很容易表示时，极坐标系便显得尤为有用；而在平面直角坐标系中，这样的关系就只能使用三角函数来表示。对于很多类型的曲线，极坐标方程是最简单的表达形式，甚至对于某些曲线来说，只有极坐标方程能够表示。

在极坐标系与平面直角坐标系间转换

极坐标系中的两个坐标r和θ可以由下面的公式转换为直角坐标系下的坐标值：x=r*cos(θ)，y=r*sin(θ)。由上述二公式，可得到从直角坐标系中x和y两坐标如何计算出极坐标下的坐标：r=sqrt(x2+y2)，θ=arctany/x。在x=0的情况下：若y为正数θ=90°(π/2 radians)；若y为负，则θ=270°(3π/2 radians)。

极坐标方程

用极坐标系描述的曲线方程称作极坐标方程，通常用来表示r为自变量θ的函数。极坐标方程经常会表现出不同的对称形式，如果r(−θ)=r(θ)，则曲线关于极点(0°/180°)对称，如果r(π-θ) = r(θ)，则曲线关于极点(90°/270°)对称，如果r(θ−α)=r(θ)，则曲线相当于从极点逆时针方向旋转α°。

发展史

第一个用极坐标来确定平面上点的位置的是牛顿。他的《流数法与无穷级数》，大约于1671年写成，出版于1736年。此书包括解析几何的许多应用，例如按方程描出曲线，书中创见之一，是引进新的坐标系。17甚至18世纪的人，一般只用一根坐标轴(x轴)，其y值是沿着与x轴成直角或斜角的方向画出的。牛顿所引进的坐标之一，是用一个固定点和通过此点的一条直线作标准，例如极坐标系。牛顿还引进了双极坐标，其中每点的位置决定于它到两个固定点的距离。由于牛顿的这个工作直到1736年才为人们所发现，而瑞士数学家J.贝努力利于1691年在《教师学报》上发表了一篇基本上是关于极坐标的文章，所以通常认为J.贝努利是极坐标的发现者。J.贝努利的学生J.赫尔曼在1729年不仅正式宣布了极坐标的普遍可用，而且自由地应用极坐标去研究曲线。他还给出了直角价值到极坐标的变换公式。确切地讲，J.赫尔曼把cos、sin当作变量来使用，而且用z，n和m来表示cos和sin。欧拉扩充了极坐标的使用范围，而且明确使用三角函数的记号；欧拉那个时候的极坐标系实际上就是现代的极坐标系。

应用

有些几何轨迹问题如果用极坐标法处理，它的方程比用直角坐标法来得简单，描图也较方便。1694年，J.贝努利利用极坐标引进了双纽线，这曲线在18世纪起了相当大的作用。

典型图像模型例举与解析；圆心原点的时候；圆与坐标轴相切的时候。

平面极坐标系下动量算符的选择

动量算符是量子力学中的基本算符。量子力学中的所有力学量用力学量用厄米算符表示。若在经典力学中有相应的力学量，则在量子力学中表示这个力学量的算符由经典表示式中将动量换为算符－ih得出。更一般地，对于笛卡尔坐标中的一维情况，当存在经典类比时，动量算符应为

但对于非笛卡尔坐标，如平面极坐标和球面坐标系，动量算符的整体形式及各方向分量形式却很容易让人产生误解，这在一般的量子力学教材中几乎没有提及。尹世忠给出了球坐标系下的动量算符各分量的具体表达式，但对于算符的构造方法介绍较为简略，也没有给出平面极坐标系下的动量算符。本文利用“对称法”及力学量算符的厄米性构造出平面极坐标系动量算符各方向的分量。

拉普拉算符在平面极坐标系下的表达式

极坐标与二维直角坐标系转换关系如下：

逆变换关系为：

动量算符各分量式在平面极坐标系下的选择

（1）从动能算符判定

一个具有旋转对称的二维运动粒子，在二维指教坐标系中的动能算符为：

（2）从厄米性判定

量子力学的所有力学量算符必须是线性厄米算符。此二算符线性显然满足，因此，需要考查这两个算符的厄米性。由直角坐标系与极平面极坐标系的相互转换关系有：

研究结论

（1）直角坐标系下动量算符各分量的表述形式并不适用于极坐标系。

（2）对于直角坐标系中的动量算符分量，即其后可加上有关该方向坐标的函数不影响原来的算符，但在非笛卡儿坐标系中却不成立。

（3）动量算符应和正则共轭动量对应，而不是和机械动量m→v对应。