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反传递关系

数学术语

二元关系R是反传递关系(anti-transitive relation)，当且仅当对任意对象a、b、c，如果a和b有关系R，b和c有关系R，那么a和c没有关系R。如“父子”关系。

基本介绍
反传递关系是一种特殊的关系，指由甲、乙和乙、丙都有，可推知甲、丙一定没有的那种关系，集合A上的二元关系R，对任何a，b，c∈A，当aRb，bRc时，有a c(¬(aRc))。
用符号表示：R是A上的反传递关系 ∀a∀b∀c(a∈A∧b∈A∧c∈A∧aRb∧bRc→¬(aRc))。
当A上的R是反传递关系时，称R在A上是反传递的，或A上的关系R有反传递性。
例如，在人群中关系R={〈x，y〉|x是y的父亲}是反传递的。一个关系不是传递关系时，也可能不是反传递的。如关系G={〈x，y〉|x是y的同学}，既不是传递的，也不是反传递的。
反传递关系推理
反传递关系推理就是依据反传递关系的逻辑性质进行推演的推理。例如：
①老张是大张的父亲，
大张是小张的父亲，
所以，老张不是小张的父亲。
②甲犯比乙犯的刑期多两年，
乙犯比丙犯的刑期多两年，
所以，甲犯的刑期决不比丙犯的刑期多两年。
上例中，“……是……父亲”“多两年”关系均为反传递关系，这
是上面推理成立的依据。
反传递关系推理的形式可表示为：
说明关系的传递性，需要涉及三个对象，但是，传递性是两项关系的性质，不是三项关系的性质。
凡是两项关系，都可以既从对称性方面又从传递性方面分析其性质。例如，两个词项间的交叉关系和真包含关系，若从对称性方面看，前者是对称的，后者是反对称的；若从传递性方面看，前者是非传递的，后者是传递的。
易混淆关系
错误1：混淆传递和反传递关系
将传递关系误为反传递关系，或将反传递关系误为传递关系，无论哪种，都会犯混淆传递和反传递关系的逻辑错误。
甲和乙是兄弟，乙和丙是兄弟，但甲和丙不一定是兄弟。
此例就是将传递关系误为非传递关系。兄弟是一种传递关系。甲和乙是兄弟，乙和丙是兄弟，则甲和丙一定也是兄弟。
甲和乙是父子，乙和丙是父子，则甲和丙也是父子。
此例就是将反传递关系误为传递关系。父子是一种反传递关系。甲和乙是父子，乙和丙是父子，则甲和丙一定不会是父子。
以上二例，都犯有混淆传递和反传递关系的逻辑毛病。
错误2：混淆反传递和非传递关系
将反传递关系误为非传递关系，或将非传递关系误为反传递关系，无论哪种，都会犯混淆反传递和非传递关系的逻辑错误。
刘明是马军的舅舅，马军是王林的舅舅，所以，刘明有可能是王林的舅舅，也有可能不是王林的舅舅。
此例就是将反传递关系误为非传递关系。舅舅是一种反传递关系。刘明是马军的舅舅，马军是王林的舅舅，则刘明一定不是王林的舅舅。
敌人的敌人一定不是敌人。
此例就是将非传递关系误为反传递关系。敌人是一种非传递关系。敌人的敌人可能是敌人，也可能不是敌人。
小明认识小红，小红认识小军，所以，小明一定不认识小军。
此例就是将非传递关系误为反传递关系。认识是一种非传递关系。小明认识小红，小红认识小军，小明可能认识小军，也可能不认识小军。
以上三例，都犯有混淆反传递和非传递关系的逻辑毛病。
错误3：非传递关系误为反传递关系推理
反传递关系推理的结论都是可以确定的，但如果把非传递关系误为反传递关系来进行推理，则推理是无效的，会犯非传递关系误为反传递关系推理的错误。
例1：
甲地与乙地相距两千米；
乙地与丙地相距两千米；
所以，甲地与丙地相距不会是两千米。
相距多远是一种非传递关系，把非传递关系误为反传递关系来进行错误推理，其结论没有必然性。如甲乙丙三地处在一个等边三角形的三个项点上时，甲地与丙地也会相距两千米。
例2：
教师和青年有交叉关系；
青年和女性有交叉关系；
所以，教师和女性没有交叉关系。
有交叉关系是一种非传递关系，把非传递关系误为反传递关系来进行错误推理，其结论没有必然性，教师和女性也可能有交叉关系。
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