传递关系

数学术语

传递关系(transitive relation)是一种特殊的关系，指由甲、乙和乙、丙都有，可推知甲、丙也有的那种关系。集合A上的二元关系R，对任何a，b，c∈A，当aRb，bRc时，有aRc，用符号表示：R是A上的传递关系⇔∀a∀b∀c(a∈A∧b∈A∧c∈A∧aRb∧bRc→aRc)。当A上的R是传递关系时，称R在A上是传递的，或说A上的关系R有传递性。例如，实数集中的小于关系与不小于关系都是传递的；而人群中的同学关系是不传递的。若R在A上是传递的，则R°R⊆R；反之，如R°R⊆R，则R在A上是传递的。一个反自反的传递关系是不对称的，一个反自反的对称非空关系不是传递关系。

基本介绍

定义

令R是A上的二元关系，对于A中任意的，若，且，则，则称R具有传递性(或称R是传递关系)。

R是A上的传递关系。

例题解析

【例1】设A={1，2，3，4}，下列几个是A 上的二元关系。

R1={<1，1>，<1，2>，<2，1>，<2，2>，<3，4>，<4，1>，<4，4>}；

R2={<1，1>，<1，2>，<2，1>}；

R3={<1，1>，<1，2>，<1，4>，<2，1>，<2，2>，<3，3>，<4，1>，<4，4>}；

R4={<2，1>，<3，1>，<3，2>，<4，1>，<4，2>，<4，3>}；

R5=(<1，1>，<1，2>，<1，3>，<1，4>，<2，2>，<2，3>，<2，4>，<3，3>，<3，4>，<4，4>}；

R6={<3，4>}。

其中，哪些是传递关系?

解：是传递的。对这些关系可以证明，若和属于一个关系，则也属于这个关系，例如传递的，因为中只有<3，2>和<2，1>，<4，2>和<2，1>，<4，3>和<3，1>以及<4，3>和<3，2>是这样的有序对，而<3，1>，<4，1>和<4，2>属于。

同理可证是传递的。

虽然只有一个序对，但它没有违反传递性的规则，故也是传递的。

不是传递的。因为，。

不是传递的，因为而。

不是传递的，因为，而。

传递关系在关系图上特征表现为如果结点u到v有边，v到w有边，则必有从u到w的边。

传递关系的性质

设，则有：

(1)若是传递的。则。

(2)若是传递的，则是传递的。

(3)若是传递的，则是传递的。

关系的判断

综上所述。判断一个A上的二元关系具有哪些性质。可以从定义出发，或者观察关系的关系图和关系矩阵。对于一些简单的特征明显的关系是容易判断的，然而如何判断任意一个关系具有哪些性质呢?下面给出判断的形式化表示。

定理1 设R是A上的二元关系，则

(1) R是自反关系。

(2) R是反自反关系。

(3)R是对称关系。

(4)R是反对称关系。

(5)R是传递关系。

例2利用定理1判断例1中各关系具有的性质。

解：5种性质都不具备，原因如下。

(1)，而，所以，故不具有自反性。

(2)，故不具有自反性。

(3) ，故不是对称的。

(4)，故不是反对称的。

(5) ，故不是传递的。

同理可以判断：

是对称的，不是自反的、反自反的、反对称的、传递的；

是自反的、对称的，不是反自反的、反对称的、传递的；

是反自反的、反对称的、传递的，不是自反的、对称的；

是自反的、反对称的、传递的，不是反自反的、对称的；

是反自反的、反对称的、传递的，不是自反的、对称的。

相关概念

二元关系

设A，B是两个集合，R是A×B的任意一个子集，即

则称R为从集合A到集合B的一个二元关系，简称为从A到B的一个二元关系。

若称R为空关系。

若R=A×B，称为全关系。

当A=B时，称二元关系为A上的二元关系。

当A=B时，记称之为A上的恒等关系。

自反关系与反自反关系

定义1令R是A上的二元关系，若对于A中的每个都有，则称R具有自反性(或称R是自反关系)。

即R是A上的自反关系。

定义2令R是A上的二元关系，若不存在A中的，使得，则称R具有反自反性(或称R是反自反关系)。

即R是A上的反自反关系。

自反的关系亦称“具有反身性的关系”。对于类K中一个确定的关系R来说，若类K中任意的个体和它自身都具有关系R，则称关系R在类K中为自反的关系。若类K中没有一个个体和它自己具有关系R，则称关系R在类K中为反自反的关系。若类K中有的个体和它自己具有关系R，而有的个体和它自己不具有关系R，则称关系R在类K中为非自反的关系。例如，设类K为实数域，则等于关系“=”是自反的关系，大于关系“>”，小于关系“<”都是反自反的关系。“x的平方数是Y”的这种关系就是非自反的关系。因为0的平方数是0，1的平方数是1，即当x为0(或1)时，y也同时为0(或1)，但当x为其它实数时，x的平方数y就不能再与x相同了。所以，“x的平方数是y”的这种关系就既不是自反的关系，也不是反自反的关系，而是非自反的关系。

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