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空关系

数学术语

空关系是一种特殊关系，指关系集A×B中的子集∅。非空集合中的空关系是反自反的、对称的、反对称的和传递的，但不是自反的；空集合中的空关系则是自反的、反自反的、对称的、反对称的和传递的。非空集合的空关系的矩阵各元素都是0。

定义
定义1 设A，B是两个集合，R是A×B的任意一个子集，即
则称R为从集合A到集合B的一个二元关系，简称为从A到B的一个二元关系。
若称R为空关系。
若称为全关系。
当时，称二元关系为A上的二元关系。
当时，记称之为A上的恒等关系。
空关系是一种特殊关系，指关系集A×B中的子集∅。非空集合中的空关系是反自反的、对称的、反对称的和传递的，但不是自反的；空集合中的空关系则是自反的、反自反的、对称的、反对称的和传递的。非空集合的空关系的矩阵各元素都是0。
定义2 集合A上的关系是从A到A的关系。
集合A到它自身的关系是特别令人感兴趣的。
通常集合A上不同关系的数目依赖于A的基数。如果|A|=n,那么|A×A|=n2，可知A 上关系的子集有个，因为一个子集代表一个A 上的关系，所以A 上的关系有个不同的二元关系。
例如，则在A上可以定义个不同的关系。当然，大部分的关系没有什么实际意义，但是,对于任意集合A都有3种特殊的关系，它们是:
定义3 称为A上的空关系，称为A上的全关系，称为A上的相等关系(或恒等关系)。
例题解析
例1 设R是P(A)上的包含关系，则
有。
。
例2 给定一个非空集合A，试讨论集合A上的全域关系A×A以及空关系的性质。
解：(1)全域关系显然有自反性、对称性和传递性，但显然没有反自反性。
至于反对称性，要看集合A的元素个数而定。
情形一：如果那么显然它上面的全域关系有反对称性。
情形二：如果，那么显然它上面的全域关系没有反对称性。
(2) 因为A是非空集合，所以容易验证A上的空关系有对称性、传递性、反自反性、反对称性，但没有自反性。
二元关系的性质
设R是集合A上的一个二元关系，即，于是
(1)若对于，满足则称关系R有自反性，或称R是A上的自反关系。
(2)若对于，满足则称关系R有反自反性，或称R是A上的反自反关系。
(3)若对于，满足当有则称关系R有对称性。或称R是A上的对称关系。
(4)若对于，满足当且有，则称关系R有反对称性，或称R是A上的反对称关系。
(5)若对于，满足当且时，有则称关系R有传递性，或称R是A上的传递关系。
注：1. 有自反性的关系一定没有反自反性，有反自反性的关系也一定没有自反性，这说明自反性与反自反性不可能共存于同一个关系之中。但是有这样的关系存在，它既不是自反的，也不是反自反的。
2. 对称性和反对称性有可能共存于同一个关系之中。同时也存在这样的关系，它既不是对称的，也不是反对称的。
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