反自反关系

任何事物与其自身之间都不具有的那种关系

反自反关系(anti-reflexive relation)是一种特殊的关系，指任何事物与其自身之间都不具有的那种关系。用符号表示：R是A上的反自反关系⇔∀a(a∈A→¬(aRa))。当A上的R为反自反关系时，称R在A上是反自反的，或说A上的关系R有反自反性。例如，整数集上的关系R={〈x，y〉|x大于y}是反自反的，又如人群中关系G={〈x，y〉|x是y的父亲}是反自反的。一个关系不能既是自反的又是反自反的，但存在既不是自反的又不是反自反的关系。如A={a，b}上的二元关系R={〈a，a〉，〈a，b〉}。当A上的关系R是反自反的时，A的矩阵的主对角线上的元素全为0。

基础知识

二元关系

设A，B是两个集合，R是A×B的任意一个子集，即

则称R为从集合A到集合B的一个二元关系，简称为从A到B的一个二元关系。

若称R为空关系。

若R=A×B，称为全关系。

当A=B时，称二元关系为A上的二元关系。

当A=B时，记称之为A上的恒等关系。

自反关系与反自反关系

定义1令R是A上的二元关系，若对于A中的每个都有，则称R具有自反性(或称R是自反关系)。

即R是A上的自反关系。

定义2令R是A上的二元关系，若不存在A中的，使得，则称R具有反自反性(或称R是反自反关系)。

即R是A上的反自反关系。

自反的关系亦称“具有反身性的关系”。对于类K中一个确定的关系R来说，若类K中任意的个体和它自身都具有关系R，则称关系R在类K中为自反的关系。若类K中没有一个个体和它自己具有关系R，则称关系R在类K中为反自反的关系。若类K中有的个体和它自己具有关系R，而有的个体和它自己不具有关系R，则称关系R在类K中为非自反的关系。例如，设类K为实数域，则等于关系“=”是自反的关系，大于关系“>”，小于关系“<”都是反自反的关系。“x的平方数是Y”的这种关系就是非自反的关系。因为0的平方数是0，1的平方数是1，即当x为0(或1)时，y也同时为0(或1)，但当x为其它实数时，x的平方数y就不能再与x相同了。所以，“x的平方数是y”的这种关系就既不是自反的关系，也不是反自反的关系，而是非自反的关系。

例题解析

【例1】设A={1，2，3，4}，下列几个是A 上的二元关系。

R1={<1，1>，<1，2>，<2，1>，<2，2>，<3，4>，<4，1>，<4，4>}；

R2={<1，1>，<1，2>，<2，1>}；

R3={<1，1>，<1，2>，<1，4>，<2，1>，<2，2>，<3，3>，<4，1>，<4，4>}；

R4={<2，1>，<3，1>，<3，2>，<4，1>，<4，2>，<4，3>}；

R5=(<1，1>，<1，2>，<1，3>，<1，4>，<2，2>，<2，3>，<2，4>，<3，3>，<3，4>，<4，4>}；

R6={<3，4>}。

其中，哪些是自反关系? 哪些是反自反关系?

解:关系R3，R5是自反的，因为它包括所有形如的序对。关系R4，R6是反自反的，因为它不包括任何形如的序对。而关系R1，R2既不是自反的，也不是反自反的。因为R1中包含<1，1>，<2，2>，<4，4>，但不包含<3，3>；R2中包含<1，1>.但不包含<2，2>，<3，3>，<4，4>。

自反性和反自反性可以在关系图和关系矩阵上非常直观地反映出来。

例1中R3，R5的关系图如图1、2所示。