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反对称变换

线性变换

反对称变换(anti-symmetric transformation)是一种线性变换，设V是欧氏空间，σ是V的线性变换，若对任意α，β∈V，有(σ(α)，β)=-(α，σ(β))，则称σ为V的反对称变换。反对称变换对于有限维欧氏空间V的任意标准正交基的矩阵是实反对称矩阵，即为满足条件A′=-A的实矩阵；反之，若线性变换关于V的标准正交基的矩阵是反对称的，则σ是反对称变换，反对称变换的特征值或是零，或是纯虚数。

基本介绍
针对对称变换，我们把欧氏空间中对任意，满足的线性变换叫做反对称变换。
【例1】在欧氏空间R2中，规定线性变换σ为，证明：σ是反对称变换。
证明： 因为对任意，有：
于是，
所以，
故σ是反对称变换。
反对称变换的性质
根据反对称变换的定义，可以证得反对称变换的以下一些性质：
定理1 欧氏空间V的线性变换σ是反对称变换的充分必要条件是σ关于V的标准正交基的矩阵是反对称矩阵。
证明 设是V的组标准正交基，且
于是，．
所以，σ是反对称变换的充分必要条件是，即σ关于V的标准正交基f内矩阵是反对称矩阵。
性质1 设σ是欧氏空间V的反对称变换，如果V1是σ的不变子空间，则也是σ的不变子空间。
证明 对任意的向量，有而V1是σ的不变子空间，所以，故，于是得．因此，即是σ的不变子空间。
性质2 设σ是欧氏空间V的反对称变换，则σ的特征根是零或纯虚数。
证明 设σ是欧氏空间V的反对称变换，A是σ关于V的某个标准正交基的
矩阵，是A的任一特征根，α是属于特征根的特征向量，则有：
一方面，另一方面，有：
所以，但，从而，故反对称实矩阵的特征根是零或纯虚数，即σ的特征根是零或纯虚数。
和对称变换一样，因反对称变换与反对称矩阵一一对应，所以反对称变换所具有的性质，反对称矩阵都具有，这里从略。
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