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反射变换

欧氏几何中一种重要变换

反射变换(reflection transformation)是欧氏几何中一种重要变换，即欧氏平面上的轴反射变换和欧氏空间中的镜面反射变换统称反射变换，简称反射。

定义
定义1
1.平面上的反射变换
设l为平面上一直线，将平面上任一点P变换到关于l与它对称的点P'的变换，叫做平面上关于直线l的反射变换；
设A为平面上一点，将平面上任一点P变换到关于点A与P对称点p'的变换，叫做平面上关于点A的反射变换。
2.空间中的反射变换
设为空间中一平面，将空间任一点P变换到关于平面与P对称的点P'的变换，称做空间关于平面的反射变换。
设A为空间中一点，将空间任一点P变换到关于点A与P对称的点P'的变换，叫做空间关于点A的反射变换。
定义2
我们通常称集合A到自身的映射f是集合A上的变换，即。若是一一映射，则称是集合A上的一一变换。
设是平面上的定直线，S是平面上的变换，P、P'是一对对应点。如果线段PP'被直线垂直平分，那么称S为反射变换(symmetric transformation)，简记为，为反射轴。
有时，记点P到的距离为。
由此可知，反射变换由反射轴或一对对应点确定。
在反射变换S(l)下，点P变换为点P'，图形F变换为图形F'，这可表示为
或记为
性质
性质1 反射变换下两点之间距离不变，即对于任意两点P、Q，，则1(图3)。
性质2 反射变换下两直线的夹角不变，即，则∠RPQ=∠R'P'Q'。
说明 性质1和性质2分别揭示了反射变换的保距性和保角性，并由此可以得到:任一图形F，经反射变换后得到F'，则F与F'全等。
显然，我们有
性质3 在反射变换下，反射轴是不动点的集合，垂直于反射轴的直线是不变直线。
性质4 设O为反射轴上一点,P、P’是一对对应点，则∠POP'被所平分。
反射变换有时又称为轴对称变换，如果一个图形F在轴对称变换下的对应图形是F' ，那么称F'是F的轴对称图形，它们是互为轴对称图形，又若F=F'，则称图形F为轴对称变换下的自对称图形。
运算
反射变换可以组成集合，我们在这样的集合中定义“乘法运算”，即运算“.”：
设两个反射变换，若一个点P(或一个图形F)在反射变换下为点P'(或图形F')，而点P'(或图形F')在反射变换下为点P”(或图形F”)，则称点P(或图形F)在反射变换与，而变换称为与的乘积变换。
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