反正割函数

数学术语

反正割函数是数学术语，属于反三角函数的一种。指正割函数y=sec x在区间[0，π/2)∪(π/2，π]上的反函数.记为y=arcsec x。

基本概念

反三角函数之一.指正割函数y=sec x在区间[0，π/2)∪(π/2，π]上的反函数.记为y=arcsec，x或y=sec-1x。它表示[0，π/2)∪(π/2，π]上正割值等于x的那个惟一确定的角，即sec(arcsec x)=x，反正割函数的定义域是(-，-1]∪[1，+)，值域是[0，π/2)∪(π/2，π].由于正割函数在区间[0，π/2)∪(π/2，π]上是单调连续的，因此，反正割函数是存在且惟一确定的.引进多值函数概念后，就可以在正割函数的整个定义域(x∈R，且x≠kπ+π/2，k∈Z)上来考虑它的反函数，这时的反正割函数是多值的，记为y=Arcsec x，定义域是(-，-1]∪[1，+)，值域是y∈R，y≠kπ+π/2，k∈Z.

于是，把y=arcsec x(x∈(-，-1]∪[1，+)，y∈[0，π/2)∪(π/2，π])称为反正割函数的主值，而把y=Arcsec x=2kπ±arcsec x(x∈(-，-1]∪[1，+)，y∈R，y≠kπ+π/2，k∈Z)称为反正割函数的通值.反正割函数在区间(-，-1]∪[1，+)上的图象可由区间[0，π/2)∪(π/2，π]上的正割曲线作关于直线y=x的对称变换而得到.

定义

（由于反函数存在的条件为原函数单调，但y=secx ,{x|x∈R，x≠π/2+kπ,k∈Z} 在定义域内不单调）所以定义：y=secx，x∈[0，π/2)∪(π/2，π]的反函数为反正割函数，记作y=arcsecx,x∈(-，-1]∪[1，+) ， y∈[0，π/2)∪(π/2，π]，注意：y表示的是一个弧度制的角，自变量x是一个正割值

理解

函数其实就是一个数集A到另一个数集B的映射f，（一般A∈R，B∈R，A ∉ ∅，B∉ ∅），当且仅当f是一一映射时，它才有逆映射f-1（-1在f右上角，以下所有“f-1”均如此）。显然f-1也是一一映射，它也有逆映射f。因而f与f-1互为逆映射。可见，函数y=f(x)与函数x=f-1(y)互为反函数。由于习惯上常用x表示自变量，y表示函数，因而在函数x=f-1(y)的表达式中，一般都还要对调字母x和y，把它改成y=f-1(x)

像与原像：设A，B是两个非空集合，如果根据某个确定的对应法则f使得对A中的每一个元素a，集合B中都有唯一的一个元素b和它对应，那么这种对应叫做集合A到集合B的映射，记作f：A→B。而b叫做a(在f作用下的）的像，记作b=f(a)，a叫做（b在f作用下）的原像。显然，原像集就是集合A，而像集与B之间有关系 f(A)⊆B

性质

取值

x∈(-，-1]∪[1，+) ，y∈[0，π/2)∪(π/2，π]

最值

当x=-1时，有最大值π，当x=1时，有最小值0

单调性

由于正割函数y=secx 在 [0，π/2)上单调递增，所以反正割函数y=arcsecx 在 (-，-1]上单调递增。同理　反正割函数y=arcsecx 在 [1，+) 上单调递增。即单调递增区间：(-，-1]、[1，+) （注意：绝对不能并起来）

对称中心

(0，π/2)，故有 arcsec(x)+arcsec(-x)=π， x∈(-，-1]∪[1，+)

渐近线

直线y=π/2

导数