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变分问题

数学术语

变分问题(variational problem)是有关求泛函的极大值和极小值的问题。最早研究的重要变分问题有：1.最速降线问题：给定不在同一铅垂线上的两点A和B，求出连结A和B的一条曲线使其具有这样的性质：当质点受重力作用沿着这条曲线由A下滑至B时所需时间为最少。2.短程线问题：求曲面φ(x，y，z)=0上所给二点间长度最短的曲线，这条最短曲线称为短程线或测地线。3.基本的等周问题：求长为一定的封闭曲线l，使其所围的面积S为极大。

最小曲面问题
设 平面上的开区域 ，其边界记为 ，在 上给定函数值 是已知函数，于是得到一空间曲线 其中曲面 正是所要求的曲面，此曲面要求满足的条件是由曲线C在空间中所张成的曲面面积最小。
由微积分的知识可以推导出曲面 在开区域 上的面积表达式。
不妨假设函数 满足隐函数存在定理的条件，则有 ，并且曲面的面积可表示为
很显然，当给定不同的 时，面积S是不同的。曲面面积是关于函数 的函数，称面积S是函数 的泛函．函数 必须满足如下条件：①存在连续的一阶偏导数；② 在边界 必须与 相等。用集合的概念描述为
于是，求最小曲面问题就可以转化为如下泛函极值的问题：
求 ，使得
最速降线问题
求质点的运动轨迹曲线，质量为m的质点在重力的作用下，沿此光滑曲线无摩擦运动，使质点从点下降到点的速度最快或者时间最短。
设任意一条过A，B两点的曲线的方程为，点P是曲线上的任意一点，设质点
过此点的速率是，由能量守恒有
其中s是质点所走过的路程，即从A点到P点的弧长，由弧微分公式：
把式(2)代人式(1)有
或者
对上式两边进行积分，得到从A点到B点的时间为
显然，选择不同的路径曲线，得到时间是不同的，即时间T是路径的函数。曲线要满足如下条件：①函数存在一阶导数；②点必须存曲线上，即，用集合的概念描述为
于是，求最速下降问题就可以转化为如下泛函极值的问题：
求， 使得
等周问题
存周长为的所有在平面上光滑的封闭曲线中，求所围面积最大的曲线。
设封闭曲线的参数方程为，由弧长公式知曲线方程应该满足如下方程：
由封闭曲线所围成的面积公式有
曲线要满足：①函数存在一阶导数；②函数满足式(3)。用集合的概念描述为
于是，等周问题转化为如下泛函极值的问题
求， 使得
短程线问题
求在曲面上给定两点之间最短曲线的方程。比如，球面上任意两点之间的球面上距离最短的曲线就是过这两点的大圆的劣弧。
设为参数，曲面上的光滑曲线用参数方程表示，那么过A，B两点的曲线长度为
曲线要满足：①函数存在一阶导数；②函数满足。用集合的概念描述为
于是，短程线问题转化为如下泛函极值的问题：
求， 使得
总结上面四个实际问题的例子，都是研究泛函在某个集合上的极值问题．这就是古典变分问题。
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