可度量化空间

拓扑学概念

可度量化空间(metrizable space)是一类特殊的拓扑空间，设X是拓扑空间，若在集合X上存在一个度量d，使得X上由d诱导的拓扑和X上原来的拓扑一致，则称X为可度量化空间。

定义

一个拓扑空间称为是可度量化的，若其拓扑可以由其某一个度量诱导出来。

设(X,)是拓扑空间，若存在集合X上的一个度量ρ使得即是由集合X上的度量ρ诱导的拓扑，即 = ，则称(X,)为可度量化空间。

性质

拓扑空间X有等价条件：

(1)X为可度量化空间；

(2)X为T3空间，其拓扑有σ局部有限基；

(3)X为T3空间，其拓扑有σ离散基。

若拓扑空间X有不可数离散子集，则X不是可度量化空间。

可度量化空间为第一可数空间。

研究历程

关于拓扑空间可度量化的充分必要条件的探索是一般拓扑学中最古老、产生问题最多的课题之一。

亚历山德罗夫(Александров,П.С.)和乌雷松(Урысон,П.С.)早于1923年用开覆盖列上的一个特殊条件提供了一个答案，大约在10年后，穆尔(Moore,R.L.)稍微改变了他们的条件，琼斯(Jones,F.B.)于1937年称这样的空间为穆尔空间。度量空间是穆尔空间，反之未必成立，于是，关于可度量化定理的研究转变为精确地确定什么样的穆尔空间是可度量化的。

最有名的猜测是每个正规穆尔空间是可度量化的，最近50年里对这个猜测的研究在一般拓扑学的发展中起着重要的作用。琼斯于1937年指出,若2 <2，则每个可分正规穆尔空间是可度量化的。宾(Bing,R.H.)和永见(Nagami,K.)指出每个仿紧穆尔空间是可度量化的。西尔弗(Silver,J.H.)于1970年用科恩模型指出正规穆尔空间猜测本身不能用现有的集论公理证明，周浩旋于1979年在附加集论假设MA+CH下，证明了存在不可度量化的穆尔空间.由此可见,可度量化问题的研究与公理集合论有密切的联系。

举例

例1设X是非空集，定义映射如下：

则易证是集合X上的度量，称为集合X上的离散度量，(X， )称为离散度量空间。

在离散度量空间(X， )中，对于 ∈X，的球形邻域

因此B={{x}∣x∈X}是集合X上的离散度量诱导的拓扑的基。由于集合X的每一单点集都是这一拓扑的开集，所以是集合X上的离散拓扑。

例1表明，非空集X上的离散拓扑可由上述离散度量诱导出，所以离散拓扑空间是可度量化空间。

例2 设X={a，b}，若在集合X上赋予平凡拓扑，则此平凡拓扑空间X是不可度量化空间。

事实上，若平凡拓扑空间X={a，b}是可度量化空间，则存在集合X上的度量ρ，使得由其诱导的集合X上的拓扑是平凡拓扑{ ，x}．因为ρ(a，b)>0，取

则,所以{a}是开集，这与X是平凡空间矛盾。