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可行域

数理科学术语

在优化设计中,一个不等式约束条件g(x)≤0可以将设计空间划分为两个部分：一部分满足约束条件g(x)<0，另一部分不满足约束条件g(x)>0，这两部分的分界面称为约束面，即g(x)=0。若某项设计有m个不等式约束条件，则由m个约束面在设计空间中形成两个区域，凡满足不等式约束方程组的设计变量选择区域，称为设计可行域，或称约束区域；凡不满足不等式约束方程组中任一个约束条件的设计变量选择区域，则称为设计非可行域或约束违反区域。可行域内的设计点所对应的解均为可行解。在优化设计问题中，由于存在各种设计约束，其最优设计方案通常都是可行域上的边界点。

基本介绍
所谓约束集合，就是指所有不等式约束和等式约束的交集。在此集合内所有设计点x都满足全部的约束条件，故又称它为设计可行域，表示为：
其中假设函数 和h(x)都是连续的。这样，对于一个约束的优化设计问题，由于约束面的存在而把设计空间划分为两个区域：设计可行域D和非可行域。因而，最优解或可接受设计解只能从可行域内的各点中产生。
显然，若在可行域内不存在设计点，则认为此可行集合是个空集，此时也就得不到一个设计解，问题就可能出于所建立的约束条件与设计要求是相矛盾的。
关于约束可行域D是否为一个凸集，在凸规划理论中证明了：若各个不等约束函数 是凸函数和等式约束 是线性函数，则D是凸集。但是只要等式约束是非线性的，那么集合D一定是个非凸集。
可行域的其他性质
【例1】对于一个二维问题，当其约束条件为：
由图1 (a)可见，它是一个在第一象限内的凸集；当约束条件改为：
时，由图1 (b)可见，是一个在第一象限内的非凸集D，因为函数是一凹函数；当约束条件取为等式约束
时，由图1 (c)可见，也是一个非凸集，此时这个集合是在x1≥0和x2≥0（第一象限内）上的一段曲线。
值得注意的是，一个约束函数经过变换，虽然表示形式不同但未改变其约束条件的性质，但有时却会影响约束函数的凸性，例如，对于x1>0和x2>0，且a和b为正常数，其原约束条件形式为：
可以等价地变换为下面形式（由于x1和x2均取正值，故不等式的意义没有改变）：
结果是是凸函数，变换为则是非凸函数，因为它们的Hessian矩阵分别为：
和
式中，为正定矩阵；为不定矩阵。
由此，约束函数通过形式上的变换，结果可能丢失了函数的凸性（或者相反），这也就影响可行域的约束集合的凸性条件。
根据上述可以推知，在n维欧氏空间Rn中，由一组不等式约束函数可以组成一个或几个可行域D。对于仅由一组等式约束所组成的可行域D，如果这组方程的函数是连续且彼此独立的，那么这个可行域D就是一个n-p维的子集。
对于由一组非线性约束函数所定义的可行域，确定它是凸集还是非凸集，一般说来是比较困难的，而且对于一个非凸的集合，往往是造成一个优化设计问题有多个约束极值的重要原因。
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