同方差性

同方差性是经典线性回归的重要假定之一，指总体回归函数中的随机误差项（干扰项）在解释变量条件下具有不变的方差。计量经济学中，一组随机变量具备同方差即指线性回归的最小二乘法（OLS, Ordinary Least Squares）的残值服从均值为0，方差为σ^2的正态分布，即其干扰项必须服从随机分布。与之相对应的异方差性则说明干扰项不满足此均值为0，方差为σ^2的正态分布。

基本假设

同方差性有四个基本假设，假设一被称为（White Noise Condition）白色噪音假设，干扰项为No Autocorrelation;即误差部分相互没有关联，假设回归式 y = α+βx+u, 其误差项中，u1,u2各误差之间没有任何联系，即：COV（u1*u2）=0；假设二为干扰项具备同方差性或者等分散, 即误差项与独立变量（independent variable）之间相互独立, 并且误差项的分散(方差 Variance)必须等同，即Var(u|x)=σ^2；解释变量之间不存在多重共线性；解释变量是确定变量。

求证过程

在满足上述要求的前提下，OLS回归式的统计量才能够同时满足不偏性Unbaisedness和效率性Efficiency。所推定出来的线性回归式才能被称为最好的不偏线性统计量（BLUE; best linear unbaised estimators)。

等方差性条件下不偏性和OLS斜率值的求证：

所有线性回归式可以表现为矩阵(Matrix)y=xβ+e 其中y为n*1, x为n*k, e为n*1。

根据OLS， S=∑e^2=∑e'*e. FOC β on S==> -2x'(y-βx)=0 ==> β=(x'x)^-1x'e=β+(x'x)^-1x'e

不偏性

Unbiasedness,不偏性

E(β) = β+E(x'x)^-1x'e)=β+E[E(x'x)^-1x'e|x)]=β+E((x'x)^-1x'E(e|x)]=β

推定

最好的不偏性统计量（BLUE）

假设单纯回归式y=α+βx+u满足white noise condition的2个假设即，No autocorrelation和同方差性，以及Gauss Markov condition，β的分散可定义为Var(β^)=σ∑w^2. 假设有另一个统计量β~满足线性式。求证：Var(β^)

β~=∑w~*y since β satisfies the condition of linear estimator. ==> β~=∑w~*（α+βx+u）=α∑w~+β∑w~*x+∑w~*u 为了满足不偏性，这里∑w~*x=1 由此可得出β~的方差：Var(β~)=σ^2∑w~^2。想要证明Var(β^)∑w^2. 在要求不偏性的时候已经得出∑w~*x=1，所以可推定∑w~*w=1,进而得出 ∑w~^2-∑w^2=(∑w~^2-∑w^2)^2>0==>∑w~^2>∑w^2即Var(β^)

同方差性检验

误差项的同方差性检验一般运用E检验，即能量检验（Energy Test），计算概率分布之间的统计学概念下的距离。

其他检验包括：Breush-Pagan检验，对平方后的误差项运行一个辅助回归，保留被解释的平方项的和，通过开方检验判断误差项是否具有异方差性。其替代检验：Koenker-Bassett检验则在样本量较小时应用。

判断同方差性实例：

用EVIEWS测定是否符合同方差（存在异方差Heteroskedasticity）- Heteroskedasticity test (White)

Heteroskedasticity Test: Breusch-Pagan-Godfrey

应用

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