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斜率

数学名词

斜率表示一条平面上直线关于坐标轴的倾斜程度。它通常用直线与坐标轴夹角（倾斜角）的正切来定义，也等于直线上两点的纵坐标之差与横坐标之差的比来表示。需要注意的是，当直线与纵坐标轴平行时，斜率不存在。利用斜率可以解决一些数学问题，可以用来表示直线方程，还可以为一些代数式提供几何直观。

定义
倾斜角
当直线与x轴相交时，x轴正方向与直线向上方向所成角称作直线的倾斜角；当直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角是0。因此，平面上直线倾斜角的取值范围是
直线斜率
当直线的倾斜角，即直线与x轴垂直时，直线的斜率不存在；当直线的倾斜角满足或时，称为直线的斜率，记作。
性质
平行直线的斜率关系
当两直线平行且与x轴不垂直时，它们的斜率相等；当两直线平行且与x轴垂直时，它们的斜率均不存在。
垂直直线的斜率关系
当两直线垂直且都与x轴不垂直时，它们的斜率之积为-1；当两直线垂直且有一条与x轴垂直时，其斜率不存在，另一条斜率为0。
对称直线的斜率关系
平面上有三条直线且它们的斜率均存在，直线的斜率分别为，直线和直线 关于直线对称，那么它们的斜率满足
证明：设直线的倾斜角分别为，则由对称关系可知
等式两侧同时取正切则有
由直线斜率的定义既得
该性质得证。
直线方程
平面上的直线可以用方程描述，其中涉及到斜率的直线方程形式包括下列形式。
点斜式
过点且斜率为的直线方程为
斜截式
斜率为且在y轴上截距为的直线方程为
两点式
平面上有不重合的两点，。则当时，过点A，B的直线方程为
当时，过点A，B的直线方程为
该方程不能表示点A；方程中是直线的斜率。
应用举例
例1 经过和两点的直线倾斜角为，求的值。
解：由斜率与倾斜角的关系得该直线的斜率为
解得。
例2 已知直线的斜率为，直线过点和，判断两直线是否垂直。
解：直线的斜率为
满足，故两直线垂直。
例3 直线l的斜率为，过点，写出其方程。
解：由条件可以写出直线的点斜式方程为
可化为一般式方程为.
例4 一些物理图像中的斜率具有物理意义。例如描述物体运动的位移-时间图像上两点的连线斜率表示这段时间内的平均速度；定值电阻的电压-电流图像是一条线段，其斜率即为电阻值。
例5 已知变量满足约束条件
求的取值范围。
解：约束条件对应的可行域如图阴影部分所示。待求式的几何意义为可行域内的点与原点连线的斜率。
显然，故取值范围为。
导数
对一元实函数求导，可以得到导函数，表示其图像切线斜率与自变量之间的关系。
例如对函数求导，得到，意味着在图像中点处的切线斜率为 ，该切线方程为。
对函数图像上两点求差分，得到割线斜率。对差分取极限，得到导数，即切线斜率。
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