哈尔测度

数学名词

哈尔测度是不恒等于零的不变测度，Rn上的勒贝格测度在拓扑群上的推广。设G是局部紧豪斯多夫拓扑群，Ω=G，sx(或xs)是群G内的乘法。此时把G上的非零左不变(右不变)测度称为G的左不变(右不变)哈尔测度。这种测度是由哈尔(Haar，A.)于1930年引入的。加法群Rn上哈尔测度即为勒贝格测度。在交换群的情形，左不变哈尔测度与右不变哈尔测度是相同的，在非交换群的情形，二者未必相同。哈尔测度是建立群上的调和分析理论的工具之一。

定义

若局部紧群G的非零拉东测度μ同时为左不变测度，则称μ为左哈尔测度。

若G为紧群，则还需要附加条件μ(G)=1。

性质

任意局部紧群均有左哈尔测度。

设G为局部紧群，μ,ν为G的左哈尔测度。

存在c＞0，使得μ=cν。

对G的任意非空开集U，μ(U)＞0。

若G为紧群，则μ(G)＜∞。

广群的哈尔测度

局部紧广群的哈尔测度为连续左不变测度族{t纤维=t-1(x)上的测度μx}。

例子

勒贝格测度为上的左哈尔测度。

概念介绍

哈尔测度(Haar measure)亦称哈尔积分。定义在拓扑群上的一种积分。从到C上的正线性函数μ满足μ(f)=μ(gf)， g∈G，f∈ ，其中指G上的具有紧支集的正值连续函数全体。人们约定，称复变量取正值，是指：若z∈R，则z>0。gf的定义为。

关于拓扑群的哈尔测度的基本定理是：一个局部紧的豪斯多夫拓扑群上一定存在一个非零的哈尔测度，而且除了差一个正实数因子外，该测度是惟一的，并常用积分符号表达：μ(f)=∫Gf(x)dx。

对任一G上的函数f，若μ(f)<∞，则称f在G上可积。

博雷尔测度

用表示局部紧豪斯多夫拓扑群，G的所有开子集生成的σ域叫做博雷尔代数。博雷尔代数的一个元素叫做博雷尔集。如果g是G的一个元素，S是G的子集，那么我们定义S的左右平移如下：

左平移：

右平移：

博雷尔子集G上的测度μ叫做左平移不变，如果对所有博雷尔子集S属于G和所有g∈G有：

博雷尔子集G上的测度μ叫做右平移不变，如果对所有博雷尔子集S属于G和所有g∈G有：

哈尔定理

一些作者在Baire集上定义了哈尔度量，而不是博雷尔集。这就造成不必要的规律性条件，因为Baire的测度是自动的。Halmos使用了“博雷尔集”这一术语来解释紧集生成的σ环，并在这些概念上定义了哈尔测度。

左哈尔测度满足了所有σ有限博雷尔集的内部正则性条件，但对于所有的博雷尔集来说，它可能不具有内在规律。这个垂直段的紧凑型子集是有限集，点有度量，所以这个垂直段的任何紧凑型子集的度量。但是，使用外部规律性，可以显示出该部分具有无限的度量。

一个左哈尔测量的存在和唯一性(向上缩放)首先被安德烈·韦伊(Andre Weil)充分证明。韦伊的证明使用了choice的公理，而Henri Cartan提供了一个避免使用的证明。Cartan的证明也同时确立了存在性和独特性。Alfsen在1963年对Cartan的论点进行了简化和完整的描述。在1933年由哈尔展示了对第二可数局部紧群的不变测度的特殊情况。

数理统计中的应用

在数理统计中，哈尔度量用于先验测度，这是紧凑型转换的先验概率。这些先前的措施被用来构建可接受的程序，通过对被Wald的贝叶斯程序(或贝叶斯程序的限制)的可接受程序的描述进行上诉。例如，对于一个带有位置参数的分布族，一个正确的哈尔度量结果在Pitman估计值中，这是最好的等变量。当左右的哈尔措施不同时，正确的度量通常是优先分配。对于正态分布参数空间的仿射变换，正确的哈尔度量是Jeffreys先验度量。不幸的是，即使是正确的Haar措施有时也会导致无用的先验，不能被推荐用于实际使用，就像其他方法来构造先前的避免主观信息的措施

在统计学中，哈尔度量的另一种用法是条件推理，即统计数据的抽样分布取决于数据的另一个统计数据。在不变量理论条件推理中，抽样分布是根据一组变换的不变量来进行的(关于定义的哈尔度量)。条件作用的结果有时取决于使用不变量的顺序和最大不变的选择，因此，一个不变性的统计原则不能选择任何唯一的最佳条件统计量(如果存在的话);至少需要另一个原则。

对于非紧凑型人群，统计学家使用amenable群组来扩展哈尔测度结果。

人物简介

Alfred Haar(匈牙利语：Haar Alfred；1933年10月11日，布达佩斯——1933年3月16日，塞格德)是一位匈牙利数学家。1904年，他开始在哥廷根大学学习。他的博士学位受到大卫·希尔伯特的监督。哈尔测量，哈尔小波，和哈尔变换以他的名字命名。1912年至1919年，他在Kolozsvar的弗朗茨约瑟夫大学任教。与Frigyes Riesz一起，他使萨格德大学成为数学中心。他还和Riesz共同创立了《数学学报》。

他于1885年10月11日出生在布达佩斯，父母是IGNá和艾玛·福斯。他于1903毕业于Fasori Evangélikus Gimnázium中学，在那里他是rátz lászló学生。他在布达佩斯开始他的大学学习，后来又转到G读数学和科学。

在中学期间，他与中学学生k zépiskolai Matematikai Lapok的数学期刊合作，并赢得了国家电子电视台öánd数学竞赛。他就读于布达佩斯技术大学，作为化学工程的学生，但同年他搬到布达佩斯大学，一年后到了中的大学。他的博士研究由希尔伯特毕业于1909年6月。他的49页论文研究了中的函数和球面函数的系统，介绍了目前广泛使用的haar正交系统。同年，他想成为大学的一名私人教授。

1902，中的大学(克鲁日)与Farkas Gyula和Riesz Frigyes一起邀请他成为教授，并成为“Quatitics”教授。后来，他的几篇演讲笔记后来成了书。在将特兰西瓦尼亚割让给罗马尼亚的“中的条约”之后，大学不得不搬到新边界内最接近的城市Szeged，在那里，他与Riesz建立了数学中心，第一个国际公认的匈牙利数学期刊，“学报”，“Scientiarum”。

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